Giải Bài 4.19 trang 48 SBT Toán 9

Lời giải

Vì $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AH \perp BC$ tại $H$, do đó hai tam giác $ABH$ và $CAH$ đều vuông tại $H$.

Tính $\tan \widehat{ABH}$: Trong tam giác $ABH$ vuông tại $H$, góc $\widehat{ABH}$ có cạnh đối là $AH$, cạnh kề là $BH$ nên

$$\tan \widehat{ABH} = \dfrac{AH}{BH}.$$

Tính $\tan \widehat{CAH}$: Trong tam giác $CAH$ vuông tại $H$, góc $\widehat{CAH}$ có cạnh đối là $CH$, cạnh kề là $AH$ nên

$$\tan \widehat{CAH} = \dfrac{CH}{AH}.$$

Suy ra $AH^2 = BH \cdot CH$: Trong tam giác $ABH$ vuông tại $H$, ta có $\widehat{BAH} + \widehat{ABH} = 90^\circ$.

Mặt khác $\widehat{BAH} + \widehat{CAH} = \widehat{BAC} = 90^\circ$.

Suy ra $\widehat{CAH} = \widehat{ABH}$, do đó $\tan \widehat{CAH} = \tan \widehat{ABH}$, tức là

$$\dfrac{CH}{AH} = \dfrac{AH}{BH}.$$

Vậy $AH^2 = BH \cdot CH$.

Đáp số