Giải Bài 4.25 trang 50 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Tàu $C$ cách đường thẳng $AB$ một khoảng bằng độ dài đoạn vuông góc hạ từ $C$ xuống $AB$.

Bước 1. Dựng hình và đặt ẩn.
Kẻ $CH \perp AB$ tại $H$ (với $H$ nằm giữa $A$ và $B$ vì hai góc $\widehat{CAB},\ \widehat{CBA}$ đều nhọn). Khoảng cách cần tìm chính là $CH$.

Đặt $AH = x$ (km), $BH = y$ (km), điều kiện $x > 0,\ y > 0$.

Bước 2. Lập hệ phương trình.
Vì $H$ nằm giữa $A$ và $B$ nên:
$$x + y = AB = 2. \quad (1)$$

Xét tam giác vuông $ACH$ (vuông tại $H$), góc $\widehat{CAH} = 50^\circ$:
$$CH = AH\cdot\tan 50^\circ = x\tan 50^\circ.$$

Xét tam giác vuông $BCH$ (vuông tại $H$), góc $\widehat{CBH} = 45^\circ$:
$$CH = BH\cdot\tan 45^\circ = y.$$

Hai biểu thức cùng bằng $CH$ nên:
$$x\tan 50^\circ = y. \quad (2)$$

Ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
$$\begin{cases} x + y = 2 \\ x\tan 50^\circ = y \end{cases}$$

Bước 3. Giải hệ.
Thế $y = x\tan 50^\circ$ từ $(2)$ vào $(1)$:
$$x + x\tan 50^\circ = 2 \;\Rightarrow\; x\left(1 + \tan 50^\circ\right) = 2 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{2}{1 + \tan 50^\circ}.$$

Với $\tan 50^\circ \approx 1{,}1918$:
$$x = \dfrac{2}{1 + 1{,}1918} \approx 0{,}9125 \ (\text{km}).$$

Suy ra khoảng cách:
$$CH = x\tan 50^\circ \approx 0{,}9125 \times 1{,}1918 \approx 1{,}0875 \ (\text{km}).$$

Bước 4. Kiểm tra lại (bằng định lí sin).
Ta có $\widehat{ACB} = 180^\circ - 50^\circ - 45^\circ = 85^\circ$. Theo định lí sin:
$$AC = \dfrac{AB\sin\widehat{CBA}}{\sin\widehat{ACB}} = \dfrac{2\sin 45^\circ}{\sin 85^\circ} \approx 1{,}4196 \ (\text{km}).$$
Khi đó $CH = AC\sin 50^\circ \approx 1{,}4196 \times 0{,}7660 \approx 1{,}0875$ (km). Kết quả trùng khớp.

Kết luận. Tàu còn cách đường thẳng $AB$ khoảng
$$CH \approx 1{,}0875 \ \text{km} = 1087{,}5 \ \text{m} \approx 1088 \ \text{m}.$$

Đáp số