Giải Bài 4.28 trang 51 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích đề bài. Xét tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$, có hai góc nhọn là $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$, cạnh huyền là $BC$.

Giả sử một góc nhọn gấp đôi góc nhọn kia, chẳng hạn $\widehat{B} = 2\widehat{C}$.

Bước 1: Tính số đo hai góc nhọn.

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, hai góc nhọn phụ nhau:
$$\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ.$$

Thay $\widehat{B} = 2\widehat{C}$ ta được:
$$2\widehat{C} + \widehat{C} = 90^\circ \;\Rightarrow\; 3\widehat{C} = 90^\circ \;\Rightarrow\; \widehat{C} = 30^\circ,\quad \widehat{B} = 60^\circ.$$

Bước 2: So sánh cạnh huyền với cạnh đối diện góc $30^\circ$.

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh $AB$ là cạnh đối diện của góc $C$. Theo tỉ số lượng giác của góc nhọn:
$$\sin C = \dfrac{AB}{BC}\;\Rightarrow\; AB = BC\cdot \sin C.$$

Vì $\widehat{C} = 30^\circ$ và $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ nên:
$$AB = BC\cdot \sin 30^\circ = BC\cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{BC}{2}.$$

Suy ra:
$$BC = 2\,AB.$$

Kết luận. Cạnh huyền $BC$ dài gấp đôi cạnh góc vuông $AB$ (cạnh đối diện góc $30^\circ$). Vậy tam giác đã cho có một cạnh dài gấp đôi một trong hai cạnh còn lại (đpcm).

*Nhận xét:* Trường hợp $\widehat{C} = 2\widehat{B}$ được chứng minh hoàn toàn tương tự, khi đó $\widehat{B} = 30^\circ$ và $BC = 2\,AC$.

Đáp số