Giải Bài 9.19 trang 54 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Vì $(I)$ là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ nên $I$ là giao điểm ba đường phân giác trong, tức $AI$, $BI$, $CI$ lần lượt là tia phân giác các góc $A$, $B$, $C$. Để chứng minh $X$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$, ta chỉ cần chứng minh $X$ cách đều ba đỉnh, tức là:
$$XB = XI = XC.$$

Đặt $\angle BAC = 2\alpha$, $\angle ABC = 2\beta$. Vì $AI$, $BI$ là phân giác nên:
$$\angle BAX = \angle CAX = \alpha,\qquad \angle ABI = \angle CBI = \beta.$$

a) Chứng minh $XB = XC$.

Tia $AX$ là phân giác góc $\angle BAC$ nên $\angle BAX = \angle CAX = \alpha$.

Trong đường tròn $(O)$, góc nội tiếp $\angle BAX$ chắn cung $BX$, góc nội tiếp $\angle CAX$ chắn cung $CX$. Hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau, suy ra:
$$\text{cung } BX = \text{cung } CX \;\Rightarrow\; XB = XC. \quad(1)$$

b) Chứng minh $XB = XI$.

Xét tam giác $XBI$. Ta tính hai góc ở đáy $B$ và $I$.

*Góc $\angle XIB$:* ba điểm $A$, $I$, $X$ thẳng hàng, nên $\angle XIB$ là góc ngoài tại đỉnh $I$ của tam giác $ABI$. Góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó:
$$\angle XIB = \angle IAB + \angle IBA = \alpha + \beta. \quad(2)$$

*Góc $\angle XBI$:* ta có $\angle XBI = \angle XBC + \angle CBI$.

- $\angle XBC$ và $\angle XAC$ là hai góc nội tiếp của $(O)$ cùng chắn cung $XC$, nên $\angle XBC = \angle XAC = \alpha$.
- $\angle CBI = \beta$ (vì $BI$ là phân giác góc $B$).

Do đó:
$$\angle XBI = \alpha + \beta. \quad(3)$$

Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra $\angle XIB = \angle XBI$, nên tam giác $XBI$ cân tại $X$, tức là:
$$XI = XB. \quad(4)$$

c) Kết luận.

Kết hợp $(1)$ và $(4)$:
$$XB = XC = XI.$$

Vậy $X$ cách đều ba điểm $B$, $I$, $C$, nên $X$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ (bán kính $XB$). $\blacksquare$

Đáp số