Giải Bài 9.32 trang 57 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích vị trí các điểm.

Vì $CF$ là đường cao nên $F \in AB$ và $\widehat{BFC}=90^\circ$; vì $BE$ là đường cao nên $E \in AC$ và $\widehat{BEC}=90^\circ$.

Đường tròn $(O)$ cắt tia đối của tia $BF$ tại $X$, nên $X$ nằm trên đường thẳng $AB$ và $B$ nằm giữa $F$ và $X$; cắt tia đối của tia $CE$ tại $Y$, nên $Y$ nằm trên đường thẳng $AC$ và $C$ nằm giữa $E$ và $Y$.

Như vậy $X$ thuộc đường thẳng $AB$, còn $Y$ thuộc đường thẳng $AC$. Ta sẽ chứng minh $\dfrac{AX}{AB}=\dfrac{AY}{AC}$ rồi dùng định lí Thalès đảo.

Bước 1. Bốn điểm $B,\,C,\,E,\,F$ cùng thuộc một đường tròn.

Ta có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^\circ$, tức hai điểm $E,\,F$ cùng nhìn đoạn $BC$ dưới một góc vuông. Do đó $E,\,F$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BC$. Vậy tứ giác $BFEC$ nội tiếp.

Xét $\triangle AFE$ và $\triangle ACB$:
- $\widehat{A}$ chung;
- Vì $BFEC$ nội tiếp nên góc ngoài tại đỉnh $F$ bằng góc trong ở đỉnh đối diện: $\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$.

Suy ra $\triangle AFE \backsim \triangle ACB$ (g.g), nên
$$\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}\ \Rightarrow\ AF\cdot AB = AE\cdot AC. \quad (1)$$

Bước 2. Dùng đường tròn $(O)$ đi qua $E,\,F,\,X,\,Y$.

Bốn điểm $F,\,E,\,X,\,Y$ cùng thuộc $(O)$ nên tứ giác $FEYX$ (hay $XFEY$) nội tiếp.

Xét $\triangle AFE$ và $\triangle AYX$:
- $\widehat{A}$ chung (vì $F,\,X$ cùng thuộc đường thẳng $AB$; $E,\,Y$ cùng thuộc đường thẳng $AC$);
- Vì $A,\,F,\,X$ thẳng hàng nên $\widehat{AFE}=180^\circ-\widehat{XFE}$. Mặt khác tứ giác $XFEY$ nội tiếp nên $\widehat{XFE}+\widehat{XYE}=180^\circ$, do đó $\widehat{AFE}=\widehat{XYE}=\widehat{AYX}$ (vì $A,\,E,\,Y$ thẳng hàng).

Suy ra $\triangle AFE \backsim \triangle AYX$ (g.g), nên
$$\frac{AF}{AY}=\frac{AE}{AX}\ \Rightarrow\ AF\cdot AX = AE\cdot AY. \quad (2)$$

Bước 3. Kết luận.

Chia từng vế của $(2)$ cho $(1)$:
$$\frac{AF\cdot AX}{AF\cdot AB}=\frac{AE\cdot AY}{AE\cdot AC}\ \Rightarrow\ \frac{AX}{AB}=\frac{AY}{AC}.$$

Vì $X$ thuộc đường thẳng $AB$, $Y$ thuộc đường thẳng $AC$ và $\dfrac{AX}{AB}=\dfrac{AY}{AC}$, theo định lí Thalès đảo ta được
$$XY \parallel BC. \qquad \blacksquare$$

Đáp số