Giải Bài 9.42 trang 60 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Phép quay thuận chiều (cùng chiều kim đồng hồ) góc $120^\circ$ tâm $O$ biến $A \mapsto B$ và $B \mapsto C$.

a) Ba điểm $A,B,C$ cùng thuộc một đường tròn tâm $O$.

Phép quay giữ nguyên khoảng cách từ mỗi điểm đến tâm quay. Vì $O$ là tâm quay nên:
- $A \mapsto B$ cho $OA = OB$;
- $B \mapsto C$ cho $OB = OC$.

Suy ra $OA = OB = OC$. Vậy ba điểm $A, B, C$ cùng cách $O$ một khoảng không đổi, nên chúng cùng nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $R = OA$. Do đó $ABC$ là tam giác nội tiếp đường tròn tâm $O$.

b) Tam giác $ABC$ đều.

Vì phép quay góc $120^\circ$ nên góc ở tâm tạo bởi mỗi điểm và ảnh của nó bằng $120^\circ$:
$$\widehat{AOB} = 120^\circ, \qquad \widehat{BOC} = 120^\circ.$$

Mà $A, B, C$ nằm trên cùng đường tròn và tổng ba góc ở tâm quanh điểm $O$ bằng $360^\circ$ nên:
$$\widehat{COA} = 360^\circ - \widehat{AOB} - \widehat{BOC} = 360^\circ - 120^\circ - 120^\circ = 120^\circ.$$

Trong một đường tròn, các dây căng những cung (góc ở tâm) bằng nhau thì bằng nhau. Ba góc ở tâm $\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COA} = 120^\circ$ bằng nhau nên ba dây tương ứng bằng nhau:
$$AB = BC = CA.$$

Vậy tam giác $ABC$ có ba cạnh bằng nhau, tức là tam giác đều.

Kết luận. $ABC$ là tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R = OA = OB = OC$ (đpcm).

*Kiểm tra:* $OA=OB=OC$ ⟹ nội tiếp tâm $O$; ba góc ở tâm đều bằng $120^\circ$ (tổng $=360^\circ$) ⟹ ba cạnh bằng nhau ⟹ tam giác đều. Hợp lí.

Đáp số