Giải Bài 5.41 trang 63 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d$ và gốc toạ độ $O$.

a) Xác định một điểm và vectơ chỉ phương của $d$.

Từ phương trình tham số của $d$, ta có đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;-2;4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1;-2)$.

b) Tìm một vectơ pháp tuyến của $(P)$.

Vì $(P)$ chứa $d$ nên $(P)$ đi qua điểm $A(1;-2;4)$ và nhận $\vec{u}=(1;1;-2)$ làm một vectơ chỉ phương.

Vì $(P)$ chứa $d$ và đi qua $O$ nên $(P)$ cũng nhận vectơ $\vec{OA}=(1;-2;4)$ làm một vectơ chỉ phương.

Hai vectơ $\vec{u}=(1;1;-2)$ và $\vec{OA}=(1;-2;4)$ không cùng phương, nên một vectơ pháp tuyến của $(P)$ là:
$$\vec{n}=[\vec{u},\vec{OA}]=\left(\begin{vmatrix}1&-2\\-2&4\end{vmatrix};\begin{vmatrix}-2&1\\4&1\end{vmatrix};\begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}\right).$$

Tính từng định thức:
$$\begin{vmatrix}1&-2\\-2&4\end{vmatrix}=1\cdot4-(-2)\cdot(-2)=4-4=0,$$
$$\begin{vmatrix}-2&1\\4&1\end{vmatrix}=(-2)\cdot1-1\cdot4=-2-4=-6,$$
$$\begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}=1\cdot(-2)-1\cdot1=-2-1=-3.$$

Vậy $\vec{n}=(0;-6;-3)$. Ta có thể chọn vectơ pháp tuyến đơn giản hơn là $\vec{n}=(0;2;1)$ (cùng phương, chia cho $-3$).

c) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua gốc toạ độ $O(0;0;0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(0;2;1)$ nên:
$$0\cdot(x-0)+2\cdot(y-0)+1\cdot(z-0)=0\Leftrightarrow 2y+z=0.$$

Kiểm tra.
- $O(0;0;0)$: $2\cdot0+0=0$ (thoả mãn).
- $A(1;-2;4)$: $2\cdot(-2)+4=-4+4=0$ (thoả mãn, nên $d\subset(P)$).
- $\vec{n}\cdot\vec{u}=0\cdot1+2\cdot1+1\cdot(-2)=0$ (vectơ pháp tuyến vuông góc với chỉ phương của $d$).

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $(P):2y+z=0$.

Đáp số