Giải Bài 5.44 trang 63 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích.

Mặt phẳng $(P): x-2y-2z-3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_P}=(1;-2;-2)$.

Đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{-1}$ đi qua điểm $M(1;-1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;-1)$.

Bước 1. Tìm vectơ pháp tuyến của $(Q)$.

Vì $(Q)$ chứa $d$ nên $\vec{n_Q}\perp\vec{u}$. Vì $(Q)\perp(P)$ nên $\vec{n_Q}\perp\vec{n_P}$.

Do đó chọn $\vec{n_Q}=\vec{u}\wedge\vec{n_P}$:

$$\vec{n_Q}=\vec{u}\wedge\vec{n_P}=\left(\begin{vmatrix}1&-1\\-2&-2\end{vmatrix};\begin{vmatrix}-1&2\\-2&1\end{vmatrix};\begin{vmatrix}2&1\\1&-2\end{vmatrix}\right).$$

Tính từng thành phần:
$$\begin{vmatrix}1&-1\\-2&-2\end{vmatrix}=1\cdot(-2)-(-1)\cdot(-2)=-4,$$
$$\begin{vmatrix}-1&2\\-2&1\end{vmatrix}=(-1)\cdot1-2\cdot(-2)=3,$$
$$\begin{vmatrix}2&1\\1&-2\end{vmatrix}=2\cdot(-2)-1\cdot1=-5.$$

Vậy $\vec{n_Q}=(-4;3;-5)$, chọn $\vec{n_Q}=(4;-3;5)$.

Bước 2. Viết phương trình $(Q)$.

Mặt phẳng $(Q)$ đi qua $M(1;-1;0)$ và có vectơ pháp tuyến $(4;-3;5)$:
$$4(x-1)-3(y+1)+5(z-0)=0$$
$$\Leftrightarrow 4x-3y+5z-7=0.$$

Bước 3. Kiểm tra lại.

- $M(1;-1;0)\in(Q)$: $4\cdot1-3\cdot(-1)+5\cdot0-7=4+3-7=0$ (đúng).
- $\vec{n_Q}\cdot\vec{u}=4\cdot2+(-3)\cdot1+5\cdot(-1)=8-3-5=0$ nên $d\subset(Q)$ (đúng).
- $\vec{n_Q}\cdot\vec{n_P}=4\cdot1+(-3)\cdot(-2)+5\cdot(-2)=4+6-10=0$ nên $(Q)\perp(P)$ (đúng).

Vậy $(Q): 4x-3y+5z-7=0$.

Đáp số