Giải Bài 5.51 trang 64 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích bài toán.

Sàn nhà thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên mặt sàn có một vectơ pháp tuyến là $\vec{k}=(0;0;1)$.

Đường ống thoát nước là đường thẳng đi qua $A(1;2;-1)$ và $B(5;6;-2)$ nên nhận
$$\overrightarrow{AB}=(5-1;\,6-2;\,-2-(-1))=(4;4;-1)$$
làm một vectơ chỉ phương.

Áp dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Gọi $\varphi$ là góc giữa đường ống (đường thẳng $AB$) và mặt sàn $(Oxy)$. Theo công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
$$\sin\varphi=\frac{\left|\overrightarrow{AB}\cdot\vec{k}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot\left|\vec{k}\right|}.$$

Ta có:
$$\overrightarrow{AB}\cdot\vec{k}=4\cdot0+4\cdot0+(-1)\cdot1=-1,$$
$$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{4^2+4^2+(-1)^2}=\sqrt{33},\qquad \left|\vec{k}\right|=1.$$

Do đó:
$$\sin\varphi=\frac{|-1|}{\sqrt{33}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{33}}\approx 0{,}1741.$$

Kết luận.
$$\varphi=\arcsin\frac{1}{\sqrt{33}}\approx 10^\circ.$$

Vậy góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn xấp xỉ $10^\circ$.

Kiểm tra: $\sin 10^\circ\approx 0{,}1736$, gần đúng với $\dfrac{1}{\sqrt{33}}\approx 0{,}1741$, nên đáp số hợp lí.

Đáp số