Giải Bài 6.6 trang 71 SGK Toán 12

Lời giải

Gọi $n$ là số cái kẹo có trong túi lúc đầu ($n$ nguyên dương, $n \ge 6$), trong đó có $6$ cái màu cam.

Xét hai biến cố:
- $A$: "Lần thứ nhất Hà lấy được kẹo màu cam".
- $B$: "Lần thứ hai Hà lấy được kẹo màu cam".

Biến cố "Hà lấy được cả hai cái kẹo màu cam" chính là $A \cap B$.

Lần thứ nhất: trong túi có $n$ cái kẹo, $6$ cái màu cam nên
$$P(A) = \dfrac{6}{n}.$$

Lần thứ hai (lấy không trả lại): nếu biến cố $A$ đã xảy ra thì trong túi còn $n-1$ cái kẹo, trong đó còn $5$ cái màu cam, nên xác suất có điều kiện là
$$P(B \mid A) = \dfrac{5}{n-1}.$$

Áp dụng công thức nhân xác suất:
$$P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B \mid A) = \dfrac{6}{n}\cdot\dfrac{5}{n-1} = \dfrac{30}{n(n-1)}.$$

Theo giả thiết $P(A \cap B) = \dfrac{1}{3}$, ta có phương trình
$$\dfrac{30}{n(n-1)} = \dfrac{1}{3} \;\Rightarrow\; n(n-1) = 90 \;\Rightarrow\; n^2 - n - 90 = 0.$$

Giải phương trình bậc hai: $\Delta = 1 + 4\cdot 90 = 361 = 19^2$, suy ra
$$n = \dfrac{1 + 19}{2} = 10 \quad \text{(nhận)} \qquad \text{hoặc} \qquad n = \dfrac{1 - 19}{2} = -9 \ (\text{loại vì } n>0).$$

Vậy $n = 10$.

Kiểm tra lại: với $n = 10$ thì $P(A \cap B) = \dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{5}{9} = \dfrac{30}{90} = \dfrac{1}{3}$ (đúng).

Vậy ban đầu trong túi có $10$ cái kẹo (gồm $6$ cái màu cam và $4$ cái màu vàng).

Đáp số