Giải Hoạt động 2 trang 76 SGK Toán 12

Lời giải

## a) Nêu nội dung tương ứng với "(?)"

Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, trong kí hiệu $P(X\mid Y)$ thì $Y$ là điều kiện (biến cố đã biết xảy ra), còn $X$ là biến cố ta cần tính xác suất:

$$P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\ (P(B)>0), \qquad P(B \mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)}\ (P(A)>0).$$

Với $A$: "Ông M mắc bệnh hiểm nghèo X" và $B$: "Xét nghiệm cho kết quả dương tính", ta điền:

- $P(A \mid B)$ là xác suất để ông M mắc bệnh hiểm nghèo X với điều kiện xét nghiệm cho kết quả dương tính.

- $P(B \mid A)$ là xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương tính với điều kiện ông M mắc bệnh hiểm nghèo X.

##

b) 0,95 là $P(A \mid B)$ hay $P(B \mid A)$?

Giá trị 0,95 mô tả độ chính xác (độ nhạy) của xét nghiệm: *nếu một người thực sự mắc bệnh hiểm nghèo X thì xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất 0,95*. Đây là xác suất của biến cố $B$ (dương tính) khi đã biết biến cố $A$ (mắc bệnh) xảy ra. Do đó:

$$0{,}95 = P(B \mid A).$$

Ông M có phải xác suất 0,95 mắc bệnh không? Không. Hai xác suất $P(A\mid B)$ và $P(B\mid A)$ nói chung khác nhau:

$$P(A \mid B) \ne P(B \mid A).$$

Xác suất ông M thực sự mắc bệnh khi biết xét nghiệm dương tính là $P(A\mid B)$, còn phụ thuộc tỉ lệ mắc bệnh trong cộng đồng $P(A)$ và tỉ lệ dương tính giả $P(B\mid\bar A)$, tính theo công thức Bayes:

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B \mid A)\,P(A) + P(B \mid \bar A)\,P(\bar A)}.$$

Nếu bệnh X hiếm gặp ($P(A)$ nhỏ) thì $P(A\mid B)$ có thể nhỏ hơn rất nhiều so với 0,95. Vậy ông M không có xác suất 0,95 mắc bệnh hiểm nghèo X.

Đáp số