Giải Thực hành 1 trang 83 SGK Toán 12

Lời giải

Bài thực hành yêu cầu dùng phần mềm GeoGebra để tính tích phân, sau đó ta kiểm tra lại bằng kiến thức đã học.

a) $\displaystyle\int \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x + 1}\,\mathrm{d}x$

*Dùng GeoGebra:* Nhập hàm số và dùng lệnh tính nguyên hàm

$$\texttt{Integral}\!\left(\dfrac{x^2-2x+2}{x+1}\right)$$

Phần mềm cho kết quả: $\dfrac{x^2}{2} - 3x + 5\ln(x+1)$.

*Kiểm tra lại bằng tính toán:* Thực hiện phép chia đa thức, ta có

$$\dfrac{x^2 - 2x + 2}{x + 1} = x - 3 + \dfrac{5}{x + 1}.$$

Do đó

$$\int \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x + 1}\,\mathrm{d}x = \int\!\left(x - 3 + \dfrac{5}{x+1}\right)\mathrm{d}x = \dfrac{x^2}{2} - 3x + 5\ln|x + 1| + C.$$

Kết quả trùng khớp với GeoGebra (phần mềm quy ước viết $\ln(x+1)$ thay cho $\ln|x+1|$).

Vậy $\displaystyle\int \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x + 1}\,\mathrm{d}x = \dfrac{x^2}{2} - 3x + 5\ln|x + 1| + C.$

b) $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos 2x \,\mathrm{d}x$

*Dùng GeoGebra:* Nhập lệnh tính tích phân xác định

$$\texttt{Integral}\!\left(e^x\cos(2x),\,0,\,\dfrac{\pi}{2}\right)$$

Phần mềm cho kết quả gần đúng $\approx -1{,}16$.

*Kiểm tra lại bằng tính toán:* Đặt $I = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos 2x\,\mathrm{d}x$. Áp dụng công thức nguyên hàm

$$\int e^x \cos 2x\,\mathrm{d}x = \dfrac{e^x\left(\cos 2x + 2\sin 2x\right)}{5} + C.$$

Suy ra

$$I = \left.\dfrac{e^x\left(\cos 2x + 2\sin 2x\right)}{5}\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{e^{\frac{\pi}{2}}(\cos\pi + 2\sin\pi)}{5} - \dfrac{e^{0}(\cos 0 + 2\sin 0)}{5}.$$

Vì $\cos\pi = -1,\ \sin\pi = 0,\ \cos 0 = 1,\ \sin 0 = 0$ nên

$$I = \dfrac{-e^{\frac{\pi}{2}}}{5} - \dfrac{1}{5} = -\dfrac{e^{\frac{\pi}{2}} + 1}{5} \approx -1{,}16.$$

Kết quả trùng khớp với GeoGebra.

Vậy $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos 2x \,\mathrm{d}x = -\dfrac{e^{\frac{\pi}{2}} + 1}{5} \approx -1{,}16.$

Đáp số