Giải Luyện tập 2 trang 75 SGK Toán 9

Lời giải

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$, bán kính $R = OA = OB = OC = 4$ cm.

Vì tam giác $ABC$ đều nên $O$ vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp vừa là trọng tâm, và ba cạnh $AB$, $BC$, $CA$ căng ba cung bằng nhau. Do đó ba góc ở tâm bằng nhau:
$$\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COA} = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ.$$

Xét cạnh $BC$: tam giác $OBC$ cân tại $O$ (vì $OB = OC = R$) và có $\widehat{BOC} = 120^\circ$.

Kẻ $OH \perp BC$ tại $H$. Khi đó $H$ là trung điểm của $BC$ và $OH$ là tia phân giác của góc $\widehat{BOC}$, nên:
$$\widehat{BOH} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ.$$

Tam giác $OHB$ vuông tại $H$, ta có:
$$BH = OB \cdot \sin\widehat{BOH} = 4 \cdot \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \ (\text{cm}).$$

Vì $H$ là trung điểm của $BC$ nên:
$$BC = 2 \cdot BH = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \ (\text{cm}).$$

Do tam giác $ABC$ đều nên ba cạnh bằng nhau:
$$AB = BC = CA = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93 \ (\text{cm}).$$

Kiểm tra lại: Với tam giác đều, ta có công thức liên hệ giữa cạnh $a$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$, suy ra $a = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ cm. Kết quả trùng khớp.

Đáp số