Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 10 năm 2021 - 2022 sở GDĐT Hà Nam

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2021 – 2022

Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1. (5,0 điểm)

1. Cho parabol    2 : 2 2 1 P y x m x m      và đường thẳng  

2 : 1 5 3 d y m x m m     

(với m là tham số). Biết đường thẳng d cắt đồ thị  P tại hai điểm phân biệt , . A B Tìm điều kiện

của m để 26. AB 

2. Cho phương trình   2 2 1 0 x b x c     với , . b c Biết phương trình có hai nghiệm dương 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 . 4. x x 

a) Chứng minh 2 2 4 2. b b c   

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức     2 6 3 1 2022. P b c b b b     

Câu 2. (6,0 điểm)

1. Giải phương trình:        2 4 1 1 4 3 . x x x x x x       

2. Giải hệ phương trình:

   

2 2

2 2 2 2 2 2 1 1

1 17 2 8 1 3 3 .

x x x y y

x y x x x y

      

       

Câu 3. (5,0 điểm)

1. Cho ABC  , các điểm , E M thỏa mãn 4 0; 3 0. AE AB BM BC          

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng . AM Biết điểm N thỏa mãn   . . BN k BC k    

 Tìm k để ba điểm , , E I N thẳng hàng.

2. Cho ABC  nhọn có các đường cao , , . AD BE CF Gọi diện tích các tam giác DEF  và

ABC  lần lượt là , . DEF ABC S S Biết rằng 3 . 10 DEF ABC S S 

Tính giá trị biểu thức:   2 2 2

2 2 2 2021 sin sin sin 2022

. cos cos cos

A B C T A B C

     

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho ABC  nội tiếp đường tròn   ; O R và có trọng tâm là . G Các đường thẳng , , AG BG CG

theo thứ tự cắt đường tròn  O tại điểm thứ hai là , , . M N P Biết 1 1 1 2 . sin sin sin R A B C   

Chứng minh 1 1 1 3. GM GN GP   

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho các số thực , , x y z thỏa mãn 2 2 2 9 x y z    và 3. x y z    Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ

nhất của biểu thức 1. 4 x z P y    

---HẾT---

Họ và tên thí sinh………………………………..Số báo danh…………………………………..

Người coi thi số 1………………………….. Người coi thi số 2…………………………………