Đề học sinh giỏi Toán 10 cấp trường năm 2019 - 2020 trường Lưu Hoàng - Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn thi: Toán - Lớp: 10 (Thời gian làm bài: 120 phút, không kểthời gian giao đề)

Câu 1 (4 điểm). Cho hàm số y = -x2 + 2(m + 1)x + 1 – m2 (m là tham số).

a) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác KAB vuông tại K, trong đó K(2; -2).

b) Tìm giá trị của m để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6.

Câu 2 (6 điểm).

a) Giải phương trình:

2

2 3(4 9) 2 3 3 3

x x x

   

b) Tìm m để phương trình: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = m có nghiệm.

c) Giải hệ phương trình:  

2 2 2 2

9 3 3 2 5

( )( 3) 3( ) 2

x y x y y

x y x xy y x y

       

       

Câu 3 (6 điểm).

a) Cho ABC và hai điểm M, N thay đổi sao cho: MC MB MA MN 2 4    . Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định.

b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1

4 . Đặt a = BC, b = AC, c = AB. Chứng

minh rằng: cotA + cotB + cotC = a2 + b2 + c2.

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(4; 3). Tìm tọa độ

điểm M nằm trên trục hoành sao cho góc ˆ AMB bằng 0 45 .

Câu 4 (2 điểm). Một chủ hộ kinh doanh có 32 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi tháng là 2.000.000đ/1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá mỗi phòng trọ lên 200.000đ/1 tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất?

Câu 5 (2 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: x + y + z = 3. Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 1 2020 A x y z xy yz zx       .

----------HẾT---------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: ...................................... Số báo danh: ................ Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2:

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn thi: Toán - Lớp: 10

I. Hướng dẫn chung II. Đáp án và thang điểm

Câu Đáp án Điểm

Câu 1 (4 điểm)

a) Phương trình hoành độ giao điểm:

2 2 2 2 2( 1) 1 0 2( 1) 1 0 x m x m x m x m           (2) 0.5

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

2 2 ' 0 ( 1) 1 0 2 2 0 1 m m m m          .

0.5

Gọi các nghiệm của phương trình (2) là 1 2 , x x .

Tọa độ các giao điểm , A B là 1 2 ( ;0), ( ;0) A x B x ; 1 2 ( 2;2), ( 2;2) KA x KB x      

. 0.5

1 2 1 2 1 2 . 0 ( 2)( 2) 4 0 2( ) 8 0 KA KB KA KB x x x x x x              

2 2 1 1 2.2( 1) 8 0 4 3 0 3

m m m m m m

             

.

Kết hợp điều kiện 1 m , ta được 1 m , 3 m  .

0.5

b)

2 2 2 2 2 2 2( 1) 1 2( 1) ( 1) ( 1) 1 y x m x m y x m x m m m             

2 ( 1) 2 2 y x m m       . 0.5

2 2 y m    , với mọi x  R. 0.5 Dấu " "  xảy ra khi 1 x m  . Giá trị lớn nhất của hàm số là 2 2 m  . 0.5 Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 6 khi 2 2 6 2 m m     . 0.5

Câu 2 (6 điểm)

a) Điều kiện: x < -1 hoặc x > 1 0.5

Phương trình

2

2

2 3(4 9) 2 3 3(2 3)(2 3) (2 3) 3 3 3 3

x x x x x x x

         

0.5

2

2 2

3 2 3 0 2 2 3 0 3 3 3(2 3)

3 3 9(2 3)

x x

x x x

x x

                        

0.5

2

3 2 3 3 2 2 2 33 108 84 0

x

x x x x x

                       

. Vậy phương trình có hai nghiệm x = -

3/2, x = 2.

0.5

b) Điều kiện: x R. Phương trình (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) = m (1) 0.5 Đặt t = x2 + 8x + 16 = (x + 4)2, điều kiện t  0. (1)  (t – 9) (t – 1) = m t2 – 10t + 9 = m (2), t 0 0.5

Xét hàm số f(t) = t2 – 10t + 9, t 0. 0.5

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC