Tuyển tập 260 bài toán phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình trong các đề thi Quốc gia

260 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CÁC ĐỀ THI

1/ Giải phương trình: x x x x x 2 2 3 1 3 2 2 5 3 16        . Giải: Đặt t x x 2 3 1     > 0. (2)  x 3 

2/ Giải bất phương trình:

x x

x

1 2 2 1 0 2 1

   

Giải: x 0 1  

3/ Giải phương trình: x x x 8 4 8 2 1 1 log ( 3) log ( 1) 3log (4 ) 2 4     .

Giải: (1)  x x x ( 3) 1 4     x = 3; x = 3 2 3 

4/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 0; 1 3      :

  m x x x x 2 2 2 1 (2 ) 0       (2)

Giải: Đặt 2 t x 2x 2    . (2)       

2t 2 m (1 t 2),dox [0;1 3] t 1

Khảo sát

2t 2 g(t) t 1    với 1  t  2. g'(t)

2

2 t 2t 2 0 (t 1)

    

. Vậy g tăng trên [1,2]

Do đó, ycbt bpt

2t 2 m t 1    có nghiệm t  [1,2] 

  t m g t g 1;2

2 max ( ) (2) 3    

5/ Giải hệ phương trình : x x y y x y x y

4 2 2

2 2 4 6 9 0 2 22 0

           

(2)

Giải: (2) 

2 2 2

2 2 ( 2) ( 3) 4

( 2 4)( 3 3) 2 20 0

             

x y

x y x . Đặt

2 2 3

     

x u y v

Khi đó (2) 

2 2 4 . 4( ) 8

       

u v u v u v  2 0    

u v hoặc 0

2

   

u

v

 2 3     

x

y ; 2 3     

x

y ; 2 5

   

x y ; 2 5

   

x y

6/ 1) Giải phương trình: 2 1 1 1 5.3 7.3 1 6.3 9 0 x x x x         (1) 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

x x

x x a

x x m b 2

3 3 3 2 2 ( 2 5)

log ( 1) log ( 1) log 4 ( )

log ( 2 5) log 2 5 ( )  

          

Giải: 1) Đặt 3 0 x t   . (1)  2 5 7 3 3 1 0     t t t  3 3 3 log ; log 5 5   x x

2)

2

3 3 3

2 2 ( 2 5)

log ( 1) log ( 1) log 4 ( )

log ( 2 5) log 2 5 ( )  

          x x

x x a

x x m b

 Giải (a)  1 < x < 3.  Xét (b): Đặt 2 2 log ( 2 5)    t x x . Từ x  (1; 3)  t  (2; 3).

(b)  2 5   t t m. Xét hàm 2 ( ) 5   f t t t , từ BBT  25; 6 4         m

7/ Giải hệ phương trình:

3 3 3

2 2 8 27 18

4 6

      

x y y

x y x y

Giải: (2) 

x y

x x y y

3 3 3 (2 ) 18

3 3 2 . 2 3

                      

. Đặt a = 2x; b = y

3 . (2)  a b ab

3 1     

Hệ đã cho có nghiệm: 3 5 6 3 5 6 ; , ; 4 4 3 5 3 5

               

8/ Giải bất phương trình sau trên tập số thực: 1 1 2 3 5 2      x x x (1)

Giải:  Với 1 2 2   x : 2 3 0, 5 2 0       x x x , nên (1) luôn đúng

 Với 1 5 2 2   x : (1)  2 3 5 2      x x x  5 2 2   x

Tập nghiệm của (1) là 1 5 2; 2; 2 2               S

9/ Giải hệ phương trình:

2

2

1 ( ) 4

( 1)( 2)

         

x y y x y

x y x y (x, y  )

Giải: (2) 

2

2

2

1 2 2 1 1

1( 2) 1 2 1

                        

x y x x y y x y x y x y

 1 2     

x y hoặc 2 5     

x

y

10/ Giải bất phương trình: ) 3 (log 5 3 log log 2 4 2 2 2 2     x x x

Giải: BPT  2 2 2 2 2 log log 3 5(log 3) (1)     x x x

Đặt t = log2x. (1)  2 2 3 5( 3) ( 3)( 1) 5( 3)          t t t t t t

2

2 2

1

log 1 1 3

3 4 3 log 4 ( 1)( 3) 5( 3)

                           

t

x t t

t x t t t



1 0 2 8 16

     

x

x

11/Giải phương trình: 2 2 2 2 2 log ( 1) ( 5)log( 1) 5 0       x x x x