Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Toán 10 Cánh Diều

CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Page 1

BÀI 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ BÀI 2: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Nhắc lại hệ tọa độ: Hệ trục tọa độ ( ) O;i , j  gồm hai trục ( ) O;i và ( ) O; j vuông góc với nhau.

Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục ( ) O;i được gọi là trục hoành và kí

hiệu là Ox, trục ( ) O; j được gọi là trục tung và kí hiệu là . Oy Các vectơ i  và j  là các vectơ

đơn vị trên Ox và Oy và 1 i j . = =   Hệ trục tọa độ ( ) O;i , j  còn được kí hiệu là Oxy.

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy Hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy. I. TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý.

Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a . Số a là hoành độ của điểm M . Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b . Số

b là tung độ của điểm M . Cặp số ( ) ;a b là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Ta kí hiệu là ( ) ; M a b .

x

y

b

a

H

K

-1

-1

O

M

1

1

CHƯƠNG

VII

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

TRONG MẶT PHẲNG

LÝ THUYẾT. I

1

1

y

x

O O

CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Page 2

I. TỌA ĐỘ VECTƠ

Tọa độ của điểm M là tọa độ của vectơ OM 

.

Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý. Vẽ OA u =  . Với mỗi vectơ u ta xác định được

duy nhất một điểm A sao cho OA u =  . Với mỗi vectơ u trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ của u là tọa độ của điểm A sao cho

OA u =  . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , nếu ( ) u x; y =  thì u xi y j = +    . Ngược lại nếu u xi y j = +    thì

( ) u x; y = 

Do đó: ( ) u x; y u xi y j = ⇔ = +    

Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Nếu ( ) u x; y =  và ( ) u x ; y ′ ′ ′ = 

thì x x u u . y y

′ =  ′ = ⇔ ′ = 

 

Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó. III. LIÊN HỆ GIỮA TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ

Cho ( ; ), ( ; ) A A B B A x y B x y thì   ; B A B A AB x x y y    

IV. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTƠ

Cho ( ; ) u x y  

;   ; v x y    

và số thực k . Khi đó ta có :

1)   ; u v x x y y        

2) . ( ; ) k u kx ky  

3) . . . u v x x y y     

4) x x u v y y

        

 

5) v 

cùng phương u 

( 0 u   

) khi và chỉ khi có số k sao cho x kx

y ky

    

V. TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG. TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC

Cho đoạn thẳng AB có ( ) ( ) ; , ; . A A B B A x y B x y Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm

( ) ; I I I x y của đoạn thẳng AB là

Cho tam giác ABC có ( ) ( ) ( ) A A B B C C A x ; y , B x ; y , C x ; y . Khi đó tọa độ của trọng tâm

2 2

A B A B I I x x y y x , y . + + = =

CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Page 3

( ) G G G x ; y của tam giác ABC được tính theo công thức

3 3

A B C A B C G G x x x y y y x , y . + + + + = =

VI. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ ( ) ( ) 1 2 1 2 ; , ; a a a b b b = =  

.

Khi đó 1 1 2 2 . . . a b a b a b = + 

Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ ( ) ( ) 1 2 1 2 ; , ; a a a b b b = =  

và hai điểm

( ) ( ) ; , ; . A A B B A x y B x y Ta có:

1) 1 1 2 2 . 0 0 a b a b a b a b ⊥ ⇔ = ⇔ + =   

2) ,a b 

cùng phương 1 1 2 2 0 a b a b ⇔ − =

3) 2 2 1 2 a a a = + 

4)     2 2 B A B A AB AB x x y y      

5) ( )

1 1 2 2

2 2 2 2 1 2 1 2

. cos ; . .

a b a b a b a b a b a a b b

+ = = + +

    ( ( ) 1 2 ; a a a = 

và ( ) 1 2 ; b b b = 

đều khác 0 

)

Câu 1. Trên trục ( ) ; O i cho các điểm A , B , C lần lượt có tọa độ 1; 2 −; 3.

Tính độ dài đại số của các vectơ

 AB ;

 BC . Từ đó suy ra hai vectơ

 AB ;

 BC ngược …