Bài tập trắc nghiệm giới hạn có lời giải chi tiết - Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh

CHUÛ ÑEÀ

4. GIÔÙI HAÏN

Baøi 01

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa

Định nghĩa 1 Ta nói dãy số ( ) nu có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu n u có thể

nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim 0 n n u →+∞ = hay 0 nu → khi . n →+∞

Định nghĩa 2 Ta nói dãy số ( ) nv có giới hạn là a (hay nv dần tới a ) khi , n →+∞nếu

( ) lim 0. n n v a →+∞ − =

Kí hiệu: lim n n v a →+∞ = hay nv a → khi . n →+∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) 1 lim 0; n n →+∞ = 1 lim 0 k n n →+∞ = với k nguyên dương;

b) lim 0 n

n q →+∞ = nếu 1; q <

c) Nếu nu c = ( c là hằng số) thì lim lim . n n n u c c →+∞ →+∞ = =

Chú ý: Từ nay về sau thay cho lim n n u a →+∞ =

ta viết tắt là lim nu a = .

II – ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1 a) Nếu lim nu a = và lim nv b = thì

( ) lim n n u v a b • + = + ( ) lim n n u v a b • − = −

( ) lim . . n n u v a b • = lim n

n

u a v b

    • =       (nếu 0 b ≠ ).

b) Nếu lim

0,

n

n

u a

u n

 =  ≥ ∀ 

thì lim . 0

nu a

a

 = ≥ 

III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vô hạn ( ) nu có công bội q , với 1 q < được gọi là cấp số nhân lùi vô

hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

( ) 1 2 3 1 1 . 1 n S u u u u u q q = + + + + = − … < … +

IV – GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Định nghĩa

• Ta nói dãy số ( ) nu có giới hạn là +∞ khi n →+∞, nếu nu có thể lớn hơn một

số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim nu = +∞ hay nu →+∞ khi . n →+∞

• Dãy số ( ) nu có giới hạn là −∞ khi n →+∞, nếu ( ) lim nu − = +∞

.

Kí hiệu: lim nu = −∞ hay nu →−∞ khi . n →+∞

Nhận xét: ( ) lim . n n u u = +∞⇔ − = −∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận các kết quả sau a) lim k n = +∞ với k nguyên dương; b) lim n q = +∞nếu 1 q > .

3. Định lí 2

a) Nếu lim nu a = và lim nv = ±∞ thì lim 0 n

n

u v = .

b) Nếu lim 0 nu a = > , lim 0 nv = và 0, 0 nv n > ∀> thì lim . n

n

u v = +∞

c) Nếu lim nu = +∞ và lim 0 nv a = > thì . lim . n n u v +∞ =

CÂU HỎI V= B=I TẬP TRẮC NGHIỆM 11

NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH Đăng ký mua trọn bộ trắc nghiệm 11 FILE WORD Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975120189

https://www.facebook.com/duckhanh0205 Khi mua có sẵn File đề riêng; File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC

Câu 1. Kết quả của giới hạn sin5 lim 2 3 n n

   −     bằng:

A. 2. − B. 3. C. 0. D. 5. 3

Lời giải. Ta có sin5 1 , 0 3 n n n ≤ ≤ mà 1 lim 0 n = nên sin 5 lim 0, 3 n n = do đó

sin5 lim 2 2. 3 n n

   − = −      Chọn A.

Nhận xét : Có thể dùng MTCT để tính (có thể chính xác hoặc gần đúng) giới hạn như sau (các bài sau có thể làm tương tự) :

Nhập ( ) sin 5 2. 3

X

X −

Bấm CALC và nhập 9999999999 (một số dòng MTCT khi bấm nhiều số « 9 » thì nó

báo lỗi, khi đó ta cần bấm ít số « 9 » hơn. Bấm « = » ta được kết quả (có thể gần đúng), sau đó chọn đáp án có giá trị gần đúng với kết quả hiện trên MTCT.

Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để

1 2 cos 1 lim . 2 2

k n n n n

− =

A. 0. B. 1. C. 4. D. Vô số.

Lời giải. Ta có 2 sin2 1 sin 2 2 2 n n n n n n n − = − .

Điều kiện bài toán trở thành

1 cos lim 0.

k n n n =

Ta có 1 lim cos cos0 1 n = = nên bài toán trở thành tìm k sao cho

*

1 2 , 3 lim lim 0 1 0 2 2

k k

k k l n k n k n ∈

−

= = = ⇔ −< ⇔ < → ℕ không tồn tại k (do k nguyên

dương và chẵn). Chọn A.

Câu 3. Kết quả của giới hạn 3sin 4cos lim 1 n n n

+

+ bằng:

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.

Lời giải. Ta có 3sin 4cos 7 7 0 1 1 3sin 4cos 0 lim 0. 1 n n n n n n n n + ≤ ≤ ≤ → + → +  = + + Chọn B.

Câu 4. Kết quả của giới hạn 2 cos2 lim 5 1 n n n

  −      + bằng:

A. 4. B. 1 . 4 C. 5. D. 4. −

Lời giải. Ta có

2 2 2 2 cos2 1 c cos2 0 lim 5 os2 0 lim 0 1 1 1 5. 1 n n n n n n n n n n n n ≤ ≤ ≤ → → = → + + +

  − =      + Chọn C.

Câu 5. Kết quả của giới hạn 2 3 lim sin 2 5 n n n π    −      là:

A. . −∞ B. 2. − C. 0. D. . +∞

Lời giải. Ta có 2 3 3 1 sin lim sin 2 lim . 2 . 5 5 n n n n …