Chuyên đề giới hạn - Nguyễn Bảo Vương

GIỚI HẠN HÀM SỐ

TẬP 1

220 BÀI TẬP TRẮC GIỚI HẠN HÀM SỐ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

https://web.facebook.com/phong.baovuong

ALBA-CHƯ SÊ-GIA LAI

NGUYỄN BẢO VƯƠNG.

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 1

CHƢƠNG IV: GIỚI HẠN

TẬP I. GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

GIỚI HẠN DÃY SỐ

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.1. Định nghĩa:

 Dãy số ( ) n u được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý

cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng n|o đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: lim 0 n x u   .Hay là:

0 lim 0 n x u   khi và chỉ khi với mọi 0  nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự

nhiên 0 n sao cho: 0 , n u n n    .

   lim lim 0 n n x x u a u a       , tức là: Với mọi 0  nhỏtùy ý, luôn tồn tại sốtựnhiên 0 n sao cho

0 , n u a n n     .

Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

1.2. Một số giới hạn đặc biệt

 1 lim 0 k n  với * k

Nếu 1 q  thì lim 0 n

n q  

Nếu n u c  (với c là hằng số) thì lim lim n n n u c c    

Chú ý: Ta viết lim n u a  thay cho cách viết lim n n u a   .

2. Một số định lí về giới hạn

Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa n n u v  kểtừsốhạng n|o đó trở đi v| lim 0 n v  thì lim 0 n u  .

Định lí 2. Cho lim , lim n n u a v b   . Ta có:

lim( ) n n u v a b   

lim( ) n n u v a b   

lim( . ) . n n u v a b  

lim ( 0) n

n

u a b v b  

Nếu 0 n u n   thì lim n u a 

3. Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN ( ) n u có công bội q thỏa 1 q  . Khi đó tổng

1 2 ... .... n S u u u      gọi là tổng vô hạn của CSN và

1 1 (1 ) lim lim 1 1

n

n u q u S S q q       .

4. Giới hạn vô cực

NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 2

4.1. Định nghĩa:

lim n n u  với mỗi sốdương tuỳ ý cho trước , mọi sốhạng của dãy số , kểtừmột số hạng n|o đó

trở đi, đều lớn hơn số dương đó .

   lim lim n n n n u u     .

4.2. Một số kết quả đặc biệt

lim k n với mọi 0 k 

lim n q với mọi 1 q  .

4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC.

Quy tắc 1: Nếu lim n u , lim n v thì lim( . ) n n u v được cho như sau;

lim n u lim n v lim( ) n n u v

























Quy tắc 2: Nếu lim n u , lim n v l  thì lim( . ) n n u v được cho như sau;

lim n u Dấu của l lim( ) n n u v

























Quy tắc 3: Nếu lim n u l , lim 0 n v  và 0 n v  hoặc 0 n v  kểtừmột số hạng nào dó trở đi thì lim n

n

u v

được coi như sau;

Dấu của l Dấu của n v lim n

n

u v

























Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa

Phƣơng pháp:

Để chứng minh lim 0 n u  ta chứng minh với mọi số 0 a  nhỏtùy ý luôn tồn tại một số an sao cho

n a u a n n   .

Để chứng minh lim n u l  ta chứng minh lim( ) 0 n u l   .