Chuyên đề trắc nghiệm bất phương trình logarit

CHỦ ĐỀ 7: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1) Bất phương trình logarit cơ bản

Xét bất phương trình a log x b(a ,a ) > > ≠ 0 1

 Nếu a > 1 thì b a log x b x a > ⇔ >

 Nếu a < < 0 1 thì b a log x b x a > ⇔ < < 0

2) Các dạng toán và phương pháp giải bất phương trình logarit thường gặp

 Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Xét bất phương trình a a log f (x) log g(x) > (a ,a ) > ≠ 0 1

 Nếu a > 1 thì a a log f (x) log g(x) f (x) g(x) > ⇔ > (cùng chiều khi a > 1)

 Nếu a < < 0 1 thì a a log f (x) log g(x) f (x) g(x) > ⇔ < (ngược chiều khi a < < 0 1)

Nếu a chứa ẩn thì [ ] a a f (x) ;g(x) log f (x) log g(x) (a ) f (x) g(x)

> >  > ⇔ − − > 

0 0

1 0(hoặc chia 2 trường hợp của cơ số)

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:

a) log ( x) log (x ) − < + + 5 5 1 2 1 1 b) log ( log x) − < 2 9 1 2 1

Lời giải

a) log ( x) log (x ) − < + + 5 5 1 2 1 1 (1)

Điều kiện: x x x x x

 − > <   ⇔ ⇔−< <   + >   > − 

1 1 2 0 1 1 2 1 0 2 1

Khi đó (1) log ( x) log log (x ) log ( x) log (x )   ⇔ − < + + ⇔ − < +   2 5 5 5 5 5 1 2 5 2 1 1 2 5 1

x x (x x ) x x

x

 −+ >   ⇔− < + + ⇔ + − > ⇔  −− < 

2 2 6 2 14 5 1 2 5 2 1 5 12 4 0 6 2 14 5

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là x −+ < < 6 2 14 1 5 2

b) log ( log x) − < 2 9 1 2 1 (2)

Điều kiện x x x x log x log x x

> > >    ⇔ ⇔ → < <    − > − > <    9 3

0 0 0 0 3 1 2 0 1 0 3

(2) log x log x log x x ⇔− < ⇔− < ⇔ > −⇔ > 9 3 3 1 1 2 2 1 2 1 3

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình x < < 1 3 3

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:

a) x x log log ( )   − ≤   2 4 6 1 b) x x log x −  >   −  

2 1 1 1

Lời giải

a) Điều kiện: x x log − > ⇔ > 4 4 6 0 6

Với x log > 4 6 ta có: x x x x x log log ( ) log ( ) x   − ≤⇔ < − ≤ ⇔< − <   2 2 4 6 1 0 4 6 1 4 6 2

x x x

x x log

x log x log

 < − − < −< <   ⇔ ⇔ ⇔    > > >    

2

4 4

3 4 2 6 0 2 2 3 7 7 4 7

Vậy nghiệm của BPT là: log x log < < 4 2 7 3

b) ĐK:

x x x x x

≠ > >     ⇔ ⇔  −  > < <  − 

1 0 1 2 1 1 0 0 1 2

TH1: Với x > 1: BPT x x x x x x x x x − − + ⇔ > ⇔ −> − ⇔ − + < ⇔ < < −

2 2 2 1 3 5 3 5 2 1 3 1 0 1 2 2

Kết hợp suy ra nghiệm của BPT là x + < < 3 5 1 2

TH2: Với x < < 1 0 2 : BTP x x x x x x x x x − − + ⇔ < ⇔ −> − ⇔ − + < ⇔ < < −

2 2 2 1 3 5 3 5 2 1 3 1 0 1 2 2

Kết hợp suy ra nghiệm của BPT là x − < < 3 5 1 2 2

Vậy nghiệm của BPT là : x ; ;     − + ∈ ∪            

3 5 1 3 5 1 2 2 2

Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau:

a)

5 x x 2 5 5 log (4 144) 4log 2 1 log (2 1) − + − < + +

b) x x log log ( )   − ≤   3 9 72 1

Lời giải

a)

5 x x 2 5 5 log (4 144) 4log 2 1 log (2 1) − + − < + + (1).

x x x x ( ) log ( ) log log log ( ) log log ( . ) − −   + ⇔ + − < + + ⇔ < +     5 4 2 2 5 5 5 5 5 4 144 1 4 144 2 5 2 1 52 5 16

x x x x x . . x − + ⇔ < + ⇔ − + < ⇔ < < → < < 2 4 144 52 5 4 202 64 0 4 2 16 2 4 16

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < < 2 4.

b) x x log log ( )   − ≤   3 9 72 1 (3)

Điều kiện: x x x

x ,x x ,x x log

log ( )

> ≠  > ≠   − > ⇔ ⇔ > >   − >   − > 

9

3

0 1 0 1 9 72 0 73 1 9 72 1 9 72 0

, (*)

Với điều kiện (*) thì (3) x x x 3 log (9 72) x 9 72 3 ⇔ − ≤ ⇔ − ≤

x x x x

x , x  ≥−∀  ⇔ − − ≤ ⇔−≤ ≤ ⇔ ≤ 

3 8 9 3 72 0 8 3 9 3 9

Từ đó ta được x ≤2.

Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của bất phương trình là log x < ≤ 9 73 2

Nhận xét: Trong ví dụ trên, mặc dù cơ số chứa ẩn x nhưng do điều kiện ta xác định được ngay biểu thức

vế trái đồng biến nên bài toán không phải chia 2 trường hợp.

Ví dụ 4: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log (x x ) + − ≥− 2 1 2 2 8 4là:

A. 4 B. 5 C. 10 D. 11

Lời giải

Ta có: BPT

x x x x x x x x x x x x x

−  >  + −>  >   −≤ < −       < − ⇔ ⇔ ⇔ < −         < ≤ + −≤ =       −≤ ≤ + − ≤     

2

4 2 2

2 2 8 0 2 6 4 4 4 1 2 4 2 8 16 6 4 2 24 0 2

Kết hợp x ∈ ⇒  BPT có 4 nghiệm nguyên. Chọn A.

Ví dụ 5: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log ( x) log (x ) − < + + 5 5 1 2 1 1 là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. …