Chuyên đề trắc nghiệm bất phương trình mũ

CHỦ ĐỀ 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

I. QUY TẮC XÉT DẤU VÀ CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ĐÃ HỌC

1) Quy tắc xét dấu biểu thức

Để xét dấu cho biểu thức p(x) g(x) q(x) = ta làm như sau:

 Bước 1: Điều kiện: q(x) 0 ≠

Tìm tất cả các nghiệm của p(x); q(x) và sắp xếp các nghiệm đó theo thứ tự tăng dần và điền vào trục số

Ox.

 Bước 2: Cho x →+∞ để xác định dấu của g(x) khi x →+∞

 Bước 3: Xác định dấu của các khoảng còn lại dựa vào quy tắc sau:

Quy tắc: Qua nghiệm bội lẻ thì g(x) đổi dấu còn qua nghiệm bội chẵn thì g(x) không đổi dấu. (chẵn giữ

nguyên, lẻ đổi dấu).

Ví dụ: Xét dấu các biểu thức

4

2 (x 4).(x 5) f (x) (x 2)(x 1) − − = + +

 Bước 1: Ta thấy nghiệm của biểu thức trên là 2; 1;4;5 − − sắp xếp thứ tự tăng dần trên trục số.

 Bước 2: Khi x →+∞(ví dụ cho x = 10000) ta thấy f(x) nhận giá trị dương.

 Bước 3: Xác định dấu của các khoảng còn lại. Do 4 (x 5) − mũ chẵn (nghiệm bội chẵn) nên qua 5 biểu

thức không đổi dấu, do 1 (x 4) − mũ lẻ (nghiệm bội lẻ) nên qua 4 biểu thức đổi dấu… ta được bảng xét dấu

của f(x) như sau:

x −∞ −2 −1 4 5 +∞

f(x) + 0 − 0 − 0 + 0 +

2) Các dạng bất phương trình cơ bản đã học

 Dạng 1: 2 f (x) g(x) f (x) g(x) 0 > ⇔ > ≥

 Dạng 2:

2

f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x) f (x) 0

g(x) f (x)

 <    ≥   < ⇔ ≥   >  

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN

Xét bất phương trình x a b,(a 0,a 1) > > ≠

 Nếu b 0 ≤ thì tập nghiệm của bất phương trình là S = vì x a 0( x ) > ∀∈

 Nếu b > 0 thì:

- Với a > 1 thì bất phương trình x a a b x log b > ⇔ >

- Với 0 < a < 1 thì bất phương trình x a a b x log b > ⇔ <

III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP

 Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Xét bất phương trình f (x) g(x) a a >

 Nếu a > 1 thì f (x) g(x) a a f (x) g(x) > ⇔ > (cùng chiều khi a > 1)

 Nếu 0 < a < 1 thì f (x) g(x) a a f (x) g(x) > ⇔ < (ngược chiều khi 0 < a < 1)

 Nếu a chứa ẩn thì [ ] f (x) g(x) a a (a 1) f (x) g(x) 0 > ⇔ − − > (hoặc xét 2 trường hợp của cơ số).

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:

a)

x x x x − + − −     ≥        

2 2 8 17 11 7 5 1 1 3 3

b)

x x x+  ≥    

2 1 1 2 4

Lời giải

a) Do > < 1 0 1 3

nên BPT x x x x x x ⇔ − + ≤ − − ⇔ − + ≤ 2 2 2 8 17 11 7 5 9 12 4 0

( x ) x ⇔ − ≤ ⇔ = 2 3 3 2 0 2

Vậy nghiệm của BPT là x = 3 2

b) ĐK: x ≠−1. BPT ( )

x x x x x x − − + + ⇔− > ⇔ >

2 2 2 2 1 1 2 2 2 2

Do 2 > 1 nên BPT x x x x x x x x x x x

< −  + ⇔− > ⇔ + < ⇔ < ⇔−< < + + + 

2 2 2 2 2 4 2 2 0 0 1 0 1 1 1

Vậy nghiệm của BPT là ( ) x ; ( ; ) ∈−∞− ∪− 2 1 0

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:

a) ( ) ( )

x x x x − + − + + < −

3 1 1 3 10 3 10 3 b) x

x x

−

− ≤ 2 1

2 1 2 2

Lời giải

a) ĐK: x ,x ≠ =≠− 1 3

Do ( )( ) ( ) ( )

− + − = ⇒ − = + 1 10 3 10 3 1 10 3 10 3

Khi đó BPT ( ) ( )

x x x x x x x x x x x x

− + − + − + − + ⇔ + < + ⇔ < − ⇔ + < − + − +

3 1 1 3 3 1 3 1 10 3 10 3 0 1 3 1 3

x (x )(x ) − ⇔ < − +

2 2 5 0 1 3 . Lập bảng xét dấu ta được 3 x 5

1 x 5

−< < −  < < 

Vậy BPT có nghiệm là ( ) ( ) ; ; −− ∪ 3 5 1 5

b) Điều kiện 2 x 2 x 2x 0 x 0 ≥  − ≥ ⇔ ≤ 

Ta có

2

2 x 1 x 1 x 2x 0 2

x 2x 1 2 2 1 2 x 1 x 2x 0 2

− −+ −

− ≤ ⇔ ≥= ⇔ −+ − ≥

x x

x x x x x x x x x x

x x ( x)

 − <  >     − ≥ − ≥     ⇔ − ≥− ⇔ ⇔ ⇔ ≥   − ≥ ≤        ≥  − ≥ −    

2 2 2

2 2

1 0 1

2 0 2 0 2 1 2 1 0 1

0 1 2 1

Vậy tập nghiệm của BPT là: [ ) S ; = +∞ 2

Ví dụ 3: Tập nghiệm của bất phương trình ( ) ( )

x x x − − + + ≤ −

6 6 1 2 1 2 1 là :

A. ( ] [ ) S ; ; = − ∪ +∞ 1 2 3 B. ( ) [ ) S ; ; = − ∪ +∞ 1 2 3

C. ( ] ( ) S ; ; = − ∪ +∞ 1 2 3 D. ( ) S ; = +∞ 3

Lời giải

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )

x x x x x x x x x x

− − − − + + −   + ≤ − ⇔ + ≤ = + ⇔ ≤   + +  

6 6 6 6 1 1 1 6 6 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1

x x x x x x x x x x x

≥  − − + − − + ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≥ ⇔−< ≤ + + + 

2 2 3 6 6 5 6 5 6 0 0 0 1 2 1 1 1

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là ( ] [ ) S ; ; = − ∪ +∞ 1 2 3 .Chọn A.

Ví dụ 4: Số nghiệm nguyên của bất phương trình x x x − − + − < 1 2 3 3 3 11 là:

A. 5 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

Ta có x x x x x x x . …