Chuyên đề trắc nghiệm công thức lũy thừa

CHỦ ĐỀ 1: CÔNG THỨC LŨY THỪA

I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Cho a∈ và * n∈. Khi đó . . .... n a a a a a = (n thừa số a).

Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho { } \ 0 a∈ và * n∈. Ta có: 0 1 ; 1 n n a a a

−= = .

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Chú ý: 0 0 và ( ) * 0 n n − ∈ không có nghĩa.

2. Căn bậc n

Cho số thực b và số nguyên dương 2 n ≥ .

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu n a b = .

Khi n lẻ, b∈: Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số b là n b .

Khi n chẵn và 0 b < thì không tồn tại căn bậc n của số b.

Khi n chẵn và 0 b = thì có duy nhất một căn bậc n của số b là 0 0 n = .

Khi n chẵn và 0 b > có 2 căn bậc n của số thực b là n b và n b − .

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ

Cho số thực 0 a > và số hữu tỷ m r n = , trong đó ; , 2 m n n ∈ ∈ ≥   . Khi đó

m n r m n a a a = = .

4. Lũy thừa với số mũ vô tỷ

Giả sử a là một số dương và α là một số vô tỷ và ( ) nr là một dãy số hữu tỷ sao cho lim n n r α →+∞ = . Khi đó

lim nr

n a aα

→+∞ = .

II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

Cho hai số dương a; b và ; m n∈. Khi đó ta có các công thức sau.

Nhóm công thức 1 Nhóm công thức 2

1. . m n m n a a a + =

2. 1 0

m m n n n n a a m a a a

− −   = = ⇔ =    

3. ( ) . n m m n a a =

1. ( )

m m n m n n a a a = =

2. ( ) . , . n n n n n n a b ab a b ab = =

3. ,

n n n n n n a a a a b b b b   = =    

 Tính chất 1: ( ) 0 1 0 a a = ≠ và 1a a = .

 Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến): 1;

0 1:

m n

m n a a a m n

a a a m n

> > ⇔ > < < > ⇔ < 

.

 Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): Với 0 a b > > thì 0

0

m m

m a b m

a b m

 > ⇔ >  < ⇔ < 

.

Ví dụ 1: Cho biểu thức

3 2 3 . . P x x x = , với 0 x > . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

13 12 P x = . B.

13 24 P x = . C.

13 6 P x = . D.

13

8 P x = .

Lời giải

Ta có:

7 13 3 7 13 3 3 3 2 3 2 6 6 2 2 12 . . . . . . P x x x x x x x x x x x x = = = = = = . Chọn A.

Ví dụ 2: Biết rằng 2 3. . n x x x x = với 0 x > . Tìm n.

A. 2 n = . B. 2 3 n = . C. 4 3 n = . D. 3 n = .

Lời giải

Ta có:

5 1 5 4 1 1 1 5 1 3 3 2 2 3 6 2 6 3 2 2 2 2 2 . . . . . . x x x x x x x x x x x x + = = = = = . Chọn C.

Ví dụ 3: Cho biểu thức

3 2 3 . .k P x x x = , với 0 x > . Biết rằng

23 24 P x = , giá trị của k bằng:

A. 6 k = . B. 2 k = . C. 3 k = . D. 4 k = .

Lời giải

Ta có:

23 23 11 3 3 3 2 3 2 3 2 3 24 12 12 . . . . . k k k P x x x x x x x x x x x = = ⇒ = ⇔ =

3 11 11 3 2 2 3 3 4 4 4 . 4 k k k x x x x x x x k − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = . Chọn D.

Ví dụ 4: Cho biểu thức ( )

1 3 2 3 1 3

1 3 . a a P a

+ + −

+ = , với 0 a > . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 3 P a = . B. 1 P a = . C. P a = . D. 3 1 P a = .

Lời giải

Ta có: ( ) ( )( ) 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3

1 3 1 3 1 3 1 3 . .a .a 1 a a a a a P a a a a a

+ + − − + + + −

+ + + + = = = = = . Chọn B.

Ví dụ 5: Cho biểu thức 3 4.

m a b a a P b a b b   = =    

với ; 0 a b > . Tìm m.

A. 7 24 m = . B. 7 12 m = . C. 7 12 m = − . D. 7 24 m = − .

Lời giải

Đặt 1 a b x x b a

− = ⇒ = . Khi đó

1 7 1 1 7 3 3 3 3 4 4 3 1 1 4 8 8 2 2 24 . . P x x x x x x x x x x x x

− − − − = = = = = = .

Do đó

7 24 3 4 7 . 24 a b a a P m b a b b   = = ⇒ =    

. Chọn A.

Ví dụ 6: Cho biểu thức với

7 1 6 3

6 2 . a b Q ab = ; 0 a b > . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Q a = . B. a Q b = . C. Q ab = . D. Q a b = .

Lời giải

Ta có:

( )

7 1 7 1 7 1 6 3 6 3 6 3

1 1 2 6 2 2 6 6 6

. . .

.

a b a b a b Q a ab ab a b = = = = . Chọn A.

Ví dụ 7: Cho x là số thực dương, viết biểu thức 3 2 6 . . Q x x x = dưới dạng lũy thừa với số hữu tỉ

A.

5 36 Q x = . B.

2 3 Q x = . C. Q x = . D. 2 Q x = .

Lời giải

Ta có:

2 1 5 1 3 2 6 3 6 6 6 . . . . . Q x x x x x x x x x = = = = . Chọn C.

Ví dụ 8: Cho biểu thức

3 4 2 3 . . P x x x = với 0 x > . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A.

5 6 P x = . B.

2 3 P x = . C.

5 8 P x = . D.

3 4 P x = .

Lời giải

Ta có:

1 1 15 5 3 7 3 4 3 4 3 …