Bài toán GTLN - GTNN biểu thức mũ - lôgarit nhiều biến số

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC

CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1

BÀI TOÁN GTLN - GTNN BIỂU THỨC MŨ – LOGARIT HAI BIẾN SỐ

PHƯƠNG PHÁP Cách 1: Đánh giá, áp dụng BDT cơ bản đã biết như BĐT Côsi và BĐT Bunhiacopxki. Cách 2: Áp dụng phương pháp hàm số, hàm đặc trưng.

Thông thường ta thực hiện theo các bước sau : Biến đổi các số hạng chứa trong biểu thức về cùng một đại lượng giống nhau. Đưa vào một biến mới t , bằng cách đặt t bằng đại lượng đã được biến đổi như trên.

Xét hàm số ( ) f t theo biến t . Khi đó ta hình thành được bài toán tương đương sau: Tìm giá

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) f t với . t D ∈

Lúc này ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) f t với

. t D ∈ Chú ý : Ta chứng minh được:

• Nếu hàm số ( ) y f x = luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D mà phương

trình ( ) f x k = có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất trên D .

• Nếu hàm số ( ) y f x = luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số ( ) y g x = luôn nghịch

biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D mà phương trình ( ) ( ) f x g x = có nghiệm thì

nghiệm đó là nghiệm duy nhất trên D . • Nếu hàm số ( ) y f x = luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì

( ) ( ) f x f y > nếu x y > (hoặc ) x y < .

Cách 3: Áp dụng hình học giải tích.

Câu 1. Xét các số thực dương x và y thỏa mãn 1 2 ln 3 1. x x y x y   − = + −   +  

Giá

trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 ( ) g x x x y = + + bằng

A. 1 8 . B. 8. C. 1 4 . D. 4 .

Lời giải Chọn B

Điều kiện 1 0 . 2 x < <

Ta có từ giả thiết: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ln 3 1 ln 1 2 1 2 ln (1) x x y x x x y x y x y   − = + −⇔ − + − = + + +   +  

.

Xét hàm số ( ) ln f t t t = + trên khoảng ( ) 0;+∞. Ta có ( ) 1 1 0 f t t ′ = + > với mọi 0 t >

Do đó hàm số ( ) f t luôn đồng biến trên khoảng ( ) 0;+∞.

Vậy (1) 1 2 1 3 x x y y x ⇔− = + ⇔ = − Ta có ( ) ( )

( ) 2 2 2 1 2 1 4 1 1 ( ) 0 1 2 2 4 2

x g x g x g x x x x x x x x

− ′ ′ = + = ⇒ = ⇒ = ⇔ = − − −

.

Khi đó ta có BBT

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC

Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Vậy GTNN của ( ) g x là 8 khi 1 1 , 4 4 x y = = .

Câu 2. Cho hai số thực dương ,a b thỏa mãn hệ thức:

( ) 2 2 2 2log log log 6 a b a b − ≤ + . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

2 2 2 2 ab b P a ab b − = − + .

A. 2 3 Max P = . B. 0 Max P = . C. 1 2 Max P = . D. 2 5 Max P = .

Lời giải Chọn C

Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2log log log 6 log log 6 6 a b a b a ab b a ab b − ≤ + ⇔ ≤ + ⇔ ≤ +

2 6 0 3 2 a a a b b b   ⇔ − − ≤ ⇔−≤ ≤    

. Do ,a b dương nên 0 2 a b < ≤ .

Đặt ,0 2 a t t b = < ≤ . Khi đó:

2

2 2 2 1 2 2 2 2 ab b t P a ab b t t − − = = − + − +

Xét hàm số ( ) 2 1 2 2 t f t t t − = − + với 0 2 t < ≤ . Ta có: ( ) ( )

( ]

2

2 2 2 0, 0;2 2 2

t t f t t t t

− + ′ = ≥ ∀∈ − +

.

Suy ra ( ) ( ) 1 2 2 f t f ≤ = với ( ] 0;2 t ∀∈ . Do đó

( ] ( ) 0;2 1 2 Max f t = khi 2 t = . Vậy 1 2 Max P = .

Câu 3. Cho hai số thực dương ,x y thỏa mãn 2 2 4 x y + = . Tìm giá trị lớn nhất max P của biểu thức ( )( ) 2 2 2 2 9 P x y y x xy = + + + .

A. max 27 2 P = . B. max 18 P = . C. max 27 P = . D. max 12 P = .

Lời giải Chọn B

Ta có 4 2 2 2 2 4 2 2 x y x y x y x y + + = + ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≤ . Suy ra

2 1 2 x y xy +   ≤ =    

.

Khi đó ( )( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 2 9 2 4 10 P x y y x xy x y x y xy = + + + = + + + .