Đồ thị hàm hợp chứa mũ - lôgarit

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ – LOGARIT - VD_VDC

CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1

ĐỒ THỊ HÀM HỢP CHỨA MŨ – LÔGARIT

Câu 1. Cho hàm số  y f x  liên tục trên  và có đồ thị hàm số

 y f x   được mô tả như hình vẽ bên. Phương trình     2 2 1 2ln 1 f x x x    có bao

nhiêu nghiệm phân biệt biết rằng  0 1 f  và  y f x  là hàm đa thức?

A. 2 B. 4 C. 0 D. 3 Lời giải Chọn D

Ta xét     2 2 2ln 1 y f x x x    

    2 2 2 2 2 1 y x f x x x            1 2 2 1 y x f t t             

.

Trong đó 2 2 t x x   và ta có  1 0 1 y f t t     . Ta chú ý với 1 x  thì

 

2 1 1 1 t x   .

Do vậy

2

1 2

2

0 0 2

0 1 2 2 1

2 2 3 1

x

x t x x

y t x x x

t x x x



                         

. Ta có BBT:

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ – LOGARIT - VD_VDC

Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA

Chú ý rằng  0 1 f  còn     

2

0 2 0 0 2 1 f f f x dx f S f S          với S là diện tích

phần tô đậm. Dễ thấy 0,75 1 S   còn  2ln 3 1,099 2 2ln 3 0,099 1 f S      .

Vì vậy đường thẳng 1 y  cắt đồ thị hàm số     2 2 2ln 1 y f x x x     tại 3 điểm phân biệt.

Câu 2. Cho hàm số  y f x  như hình vẽ. Hỏi hàm số

     2 1 2

f x y f e f x f x         

có tất cả bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 5. B. 6 . C. 3. D. 9. Lời giải Chọn B

     

  2 1 ' ' . ' . 1 2

f x f x y f e f x f x f x e f x               



  

      2

' 0

' 0 1 0 1

1 ' 0 2 2

f x

f x

f x

y e f x

f e f x f x

         

           

.Cho 

1 ' 0 1

x f x x

    

.

Đặt  t f x  . Giải 1 : 1 0. te t 

Xét   1 ' 1 t t h t e t h t e     .

 ' 0 0 h t t   .

BBT:

Do đó  0 h t t   h t  tiếp xúc với trục Ox . Pt 1 có nghiệm kép, nghiệm này không là cực

trị.

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ – LOGARIT - VD_VDC

CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 3

Giải  2 :





2

2

1 1 3 2 1 1 4 2

t

t

e t t

e t t

        

.

Giải  3 : 2 1 1 0. 2

te t t  

Xét   2 1 1 ' 1 0 2

t t k t e t t k t e t t      .

 ' 0 0 k t t   

BBT:

Pt 3 có nghiệm  0 0 t f x    . Pt  3 có 3 nghiệm phân biệt   1 2 3 1, 0;1 , 1 x x x   .

Giải  4 : 2 1 1 0. 2

te t t   Xét   2 1 1 ' 1 0 2

t t l t e t t l t e t t       .

 ' 0 0 l t t    .

BBT:

Nhận xét: 

2 1 1 2

t l t e t t   có    2 . 3 0 l l     0 l t   có 1 nghiệm

  1 3; 2 t t     1 f x t   có 1 nghiệm Pt  4 có 1 nghiệm.

Vậy  ' 0 g x  có 6 nghiệm phân biệt tức hàm số có 6 điểm cực trị.

Câu 3. Cho hàm số bậc bốn  f x có đồ thị như hình vẽ sau. Có bao nhiêu

giá trị nguyên của m [ 2021;2021]  để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt

3 2 ( ) log [ ( ) ] ( ) f x x f x mx mx f x mx    

A. 2019 . B. 2021. C. 2020 . D. 2022 .

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ – LOGARIT - VD_VDC

Trang 4 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA

Lời giải Chọn A

Từ đồ thị hàm số suy ra  f x có ba điểm cực trị là 1;0;1  . Do đó

  2 4 2 ( ) 1 ( ) 4 2 a a f x ax x f x x x b       .

Mặt khác, vì đồ thị hàm số ( ) f x đi qua hai điểm (0;4), (1;3) nên 4 2 ( ) 2 4 3, f x x x x     .

Điều kiện 2 ( ) 0 suy ra 0 f x m mx   .

3 2 ( ) log [ ( ) ] ( ) f x x f x mx mx f x mx         2 2 2 log ( ) ( ) ( ) log f x f x xf x mx mx x mx       .

       2 2 log ( 1) ( ) 1 . ( ) log ( 1) 1 . x f x x f x x mx x mx             (*) (Do 1 0 x  ).

Xét hàm số ( ) log g t t t   với 0 t  . Ta có 1 ( ) 1 0 .ln10 g t t    với 0 t  .

Từ (*) ta có

2 4 2 2

2 2 ( ) 2 4 2 ( 1) ( ) ( 1) 6 f x x x x f x x mx m x x x x                 

.

Đặt 2 2 2, u x x    khi đó 2 6, 2 2. m u u   

Ứng với mỗi giá trị của 2 2 u  cho ta hai giá trị dương của x nên yêu cầu bài toán đưa về

điều kiện là tìm m để phương trình 2 6 m u   có …