Bất phương trình lôgarit không chứa tham số

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC

CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1

GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ - ĐÁNH GIÁ

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Dạng 1 : Bất phương trình có dạng ( ) 0 F x ≥ với ( ) F x là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên D. Bước 1. Đưa bất phương trình về dạng ( ) 0 F x ≥ Bước 2. Xét hàm số ( ) y F x = . Chỉ rõ hàm số ( ) y F x = đồng biến hoặc nghịch biến trên D Bước 3. Dự đoán 0 ( ) 0 F x = , từ đó kết luận nghiệm của bất phương trình. Dạng 2 : Bất phương trình có dạng ( ) ( ) F u F v ≥ với ( ) F x là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên D Bước 1. Đưa bất phương trình về dạng ( ) ( ) F u F v ≥ Bước 2. Xét hàm số ( ) y F x = . Chỉ rõ hàm số ( ) y F x = đồng biến hoặc nghịch biến trên D Bước 3. Bất phương trình ( ) ( ) F u F v u v ≥ ⇔ ≥ nếu ( ) y F x = là hàm đồng biến và ( ) ( ) F u F v u v ≥ ⇔ ≤ nếu ( ) y F x = là hàm nghịch biến.

Câu 1. Gọi S là tập hợp gồm tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 7 3 log log ( 2) x x < + .

Tính tổng các phần tử của S . A. 2176 . B. 1128 C. 1196. D. 1176. Lời giải Chọn D Điều kiện: 0 x > .

Đặt 7 log t x = 7t x ⇒ = và bất phương trình đã cho trở thành 2 3 log (7 2)

t t < +

2 7 1 7 2 3 2 1 (*) 3 3

t t t t     ⇔ + > ⇔ + >          

.

Vì hàm số 7 1 ( ) 2 3 3

t t f t     = +          

nghịch biến trên tập  mà (2) 1 f = nên suy ra bất phương

trình (*) trở thành ( ) (2) f t f > 2 t ⇔< .

Ta có 2 t < suy ra 7 log 2 0 49 x x < ⇔ < < .

Do đó tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (0;49) suy ra { } 1,2,3,....,48 S = .

Vậy tổng các phần tử của S bằng 1 2 3 ... 48 1176 + + + + = . Câu 2. Số nghiệm nguyên của bất phương trình

  2 2 2 2 log 3 log 4 1 0 x x x x      là

A. 5. B. 7 . C. 4 . D. 3. Lời giải Chọn D Điều kiện: 0 x  . Ta có      2 2 2 2 2 2 2 2 log 3 log 4 1 0 log 3 3 log 4 4 * x x x x x x x x           .

Xét hàm số  2 log f t t t   trên   0; D  . Ta có

 1 1 0 ln 2 f t t D t     hàm số f đồng biến trên D .

Suy ra      2 2 * 3 4 3 4 1 3 f x f x x x x       . ( Thỏa mãn điều kiện)

Vậy bất phương trình có 3 nghiệm nguyên.

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC

Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Câu 3. Bất phương trình

2 2 3 2 3 1 log 2 0 2 2 3 x x x x x x + + + − − ≤ + + có số nghiệm

nguyên là A. 4 . B. 1. C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn A

Điều kiện:

2

2 2 2

2

3 1 0 ( 3 1 0, 2 2 3 0, ) 2 2 3 2 2 3 0

x x x do x x x x x x x x x

 + + >  ⇔∀∈ + + > + + > ∀∈ + +   + + ≠ 

 

Ta có ( ) ( )

2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 1 log 2 0 log 3 1 log 2 2 3 2 0 2 2 3 x x x x x x x x x x x x + + + − − ≤ ⇔ + + − + + + − − ≤ + +

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 log 3 1 3 1 log 2 2 3 2 2 3 * x x x x x x x x ⇔ + + + + + ≤ + + + + + .

Xét hàm số ( ) 3 log f t t t = + với 0 t > . Ta có ( ) 1 1 0, 0 ln3 f t t t ′ = + > ∀> .

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; ) + ∞.

Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 2 * 3 1 2 2 3 f x x f x x ⇔ + + < + +

2 2 3 1 2 2 3 x x x x ⇔ + + ≤ + +

2 2 0 1 2 x x x ⇔ − − ≤ ⇔−≤ ≤ Do { } 1;0;1;2 x x ∈ ⇒ ∈−  . Vậy bất phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên.

Câu 4. Bất phương trình ( ) 2 2 ln 1 x x + < có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc khoảng ( ) 2021;2022 − ?

A. 4042. B. 4040. C. 4041. D. 4039. Lời giải Chọn C

Xét hàm số ( ) ( ) 2 2 ln 1 f x x x = + − .

Ta có: ( ) 2 2 2 1 2 0 2 1 0 0. 1 1 x f x x x x x x   ′ = − = ⇔ − = ⇔ =   + +  

Ta có bảng biến thiên:

Suy ra: ( ) ( ) 2 2 ln 1 0 f x x x = + − < , 0 x ∀≠ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình ( ) 2 2 ln 1 x x + < là { } \ 0  do đó số nghiệm nguyên thuộc

khoảng ( ) 2021;2022 − là 4041.

Câu 5. Cho bất phương trình ( ) 2 2 2 2 log 2 4 2 2 1 + + − + + + ≤ x x x x x . Biết tập nghiệm của bất

phương trình là ( ;  − −  a b . Khi đó .a b bằng

A. 15 16 . B. 12 5 . C. 16 15 . D. 5 12 .