Phương trình lôgarit không chứa tham số

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT VD_VDC

CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ - ĐÁNH GIÁ

(KHÔNG CHỨA THAM SỐ)

PHƯƠNG PHÁP Vận dụng các kết quả sau :

Kết quả 1 : Nếu ( ) f x là hàm số đơn điệu trên K (với K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) thì

( ) 0 f x = có tối đa một nghiệm trên K .

Kết quả 2 : Nếu ( ) f x là hàm số liên tục trên đoạn [ ] ;a b và ( ) ( ) 0 f a f b < thì phương trình

( ) 0 f x = có nghiệm thuộc khoảng ( ) ;a b .

Kết quả 3 : Nếu ( ) f x là hàm đơn điệu trên ( ) ( ) , , ; . K a b K f a f b a b ∀ ∈ = ⇔ =

Kết quả 4 : Nếu hàm ( ) f x tăng trong khoảng ( ) ; a b và hàm ( ) g x là hàm một hàm giảm trong

khoảng ( ) ; a b thì phương trình ( ) ( ) f x g x = có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng ( ) ; a b .

Các bước giải phương trình :

Bước 1 : Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2 : Biến đổi phương trình sao cho một vế là hàm số đơn điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến. Bước 3 : Nhẩm nghiệm của phương trình trên mỗi khoảng xác định (nếu có). Bước 4 : Kết luận nghiệm của phương trình.

Câu 1. Tìm số nghiệm của phương trình ( ) 2 2022 ln 2021 0 x x x x − − + = .

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4 . Lời giải Chọn B Tập xác định ( ) 0; D = + ∞.

Phương trình ( ) 2 2022 ln 2021 0 x x x x − − + =

( ) 2 2022 ln 2021 x x x x ⇔ − = −

2 2022 1 2021 ln x x x x − ⇔ = −

1 0 ln 2021 x x x x ⇔ + − = −

(NX: 1 x = và 2021 x = không là nghiệm của phương trình).

Xét hàm số ( ) 1 ln 2021 x f x x x x = + − − trên ( ) { } 0; \ 1;2021 + ∞ .

Có ( )

( )

( ) { } 2 1 2021 1 0, 0; \ 1;2021 ln 2021 f x x x x x ′ = − − −< ∀∈ + ∞ −

.

Bảng biến thiên:

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT VD_VDC

Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Câu 2 . Có bao nhiêu cặp số ( ) ;x y thuộc đoạn [ ] 1;2020 thỏa mãn y là số nguyên và

ln ln x y x e y e + = + ? A. 6 . B. 7 . C. 2021. D. 2020 . Lời giải Chọn B Ta có: ln ln x y x e y e + = +

Xét hàm số ( ) t f t t e = + có ( ) 1 0, t f t e t ′ = + > ∀

Suy ra hàm số ( ) f t đồng biến trên . 

Do đó ta có: ( ) (ln ) ln f x f y x y = ⇔ =

Ta có: 1 2020 0 ln ln 2020 0 ln 2020 0 7,61... x x y y ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

Do y là số nguyên thuộc đoạn [ ] 1;2020 nên { } 1;2;3;4;5;6;7 y∈ .

Kết luận: có 7 cặp số ( ) ;x y thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 3: Có bao nhiêu cặp số tự nhiên ( ) ;x y thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

( ) ( ) 2 3 log 2 log 2 4 1 x y x y + ≤ + + và ( ) 3 log 2 x y y + ≥ − ?

A. 7 . B. 6 . C. 10. D. 8 . Lời giải Chọn B  Đặt 2 , 0 t x y t = + > , khi đó ( ) ( ) 2 3 log 2 log 2 4 1 x y x y + ≤ + + trở thành ( ) 2 3 log log 2 1 t t ≤ + .

 Dựa vào đồ thị ta thấy ( ) 2 3 log log 2 1 0 4 0 2 4 t t t x y ≤ + ⇔ < ≤ ⇔ < + ≤ .

 Kết hợp với điều kiện ( ) 3 log 2 x y y + ≥ − ta có các cặp số tự nhiên

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ; 0;1 , 0;2 , 0;3 , 1;0 , 1;1 , 1;2 x y = .

Câu 4: Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ) ;x y thỏa mãn 0 2020 y ≤ ≤ và 3 2 1 log 1 2 ?

x x y y   − = + −    

A. 2019 . B. 11. C. 2020 . D. 4 .