Kỹ năng sử dụng hàm đặc trưng để giải bài toán VDC mũ - logarit

Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/nhatlinh.phan.1401/

Sưu tầm và biên soạn: Phan Nhật Linh Tài liệu luyện thi đại học 2022

KỸ NĂNG SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG

1. Kiến thức cần nắm vững

Như các bạn đã biết, phương pháp sử dụng hàm đặc trưng để giải bài toán VDC logarit thường xuyên xuất hiện trong đề thi của BGD các năm gần đây. Đối với dạng toán về mũ và logarit thì đây là một phương pháp tối ưu nhất.

Các em học sinh cần nắm vững định lý: Cho hàm số ( ) f x đơn điệu trên ( ) ; a b . Nếu ( ) ( ) = f u f v và

( )  , ; u v a b thì khi đó = u v .

Nếu ( ) f x đồng biến trên ( ) ; a b và ( )  , ; u v a b thì ( ) ( )    f u f v u v .

Nếu ( ) f x nghịch biến trên ( ) ; a b và ( )  , ; u v a b thì ( ) ( )    f u f v u v .

Bình luận: Khi giải toán, chúng ta sẽ gặp những bài toán cho sẵn hàm ( ) f x đơn điệu và biểu thức hàm

đặc trưng dễ thấy. Tuy nhiên, ở mức độ vận dụng và vận dụng cao thì chúng ta phải khéo léo biến đổi để

trở thành hàm đặc trưng ( ) ( ) = f u f v hoặc ( ) ( )  f u f v .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho các số thực x , y thỏa mãn ( ) − − − + + = +

2 2 2 2 2 2 2 5 16.4 5 16 .7 x y x y y x . Gọi M và m lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức + = + + + 10 6 26 2 2 5 x y x y P . Tính = + T M m .

A. = 19

2 T . B. = 21

2 T . C. = 10 T . D. = 15 T .

Lời giải

Đặt = − 2 2 t x y , khi đó giả thiết tương đương với

( )

+ −

+ + + + = +  =

2 2 2

2 2 5 4 5 4 5 16.4 5 16 .7 .(1) 7 7

t t t t t

t t

Xét hàm số ( )     = +        

1 4 5 7 7

u u f u trên .

Hàm số f liên tục trên có đạo hàm ( )      = +         

1 1 4 4 5 ln ln 0 7 7 7 7

u u f u ,  t

Suy ra ( ) f u là hàm số nghịch biến trên .

Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/nhatlinh.phan.1401/

Sưu tầm và biên soạn: Phan Nhật Linh Tài liệu luyện thi đại học 2022

Do đó ( ) ( )  + = + =  =  − =  = − 2 2 (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 f t f t t t t x y y x

Khi đó: + + =

+ +

2

2 3 10 20 2 3 x x P

x x

Ta có

( )

 = − − − −  = =  = − + + 

2

2 2

5 4 22 10 0 1 2 3 2

x x x P

x x x

. Bảng biến thiên

Từ đó suy ra = 7 M , = 5

2 m nên + = 19

2 M m .

Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực thoả mãn ( ) ( ) + = + 2 2 3 4 log log x y x y . Tập giá trị của biểu thức

= + 3 3 P x y chứa bao nhiêu giá trị nguyên ?

A. 4 . B. 5 . C. 9 . D. Vô số.

Lời giải

Điều kiện +  +  2 2 0; 0 x y x y

Ta đặt ( ) ( ) + = + = 2 2 3 4 log log x y x y t . Ta có ( ) + =  + = 

2 2

3 1 4

t

t x y

x y

Vì ( ) ( ) ( ) +  +     2 2 2 2

9 4 2 3 2.4 log 2 0,85 t t x y x y t .

Ta có ( ) − + = + −  = 2 2 2 9 4 2 . 2

t t x y x y xy xy

Khi đó ( ) ( ) = + = + − + 3 3 3 3 P x y x y xy x y ( ) − = − = − + = 9 4 1 3 27 3.3 . .27 .12 2 2 2

t t t t t t f t

Xét ( ) = − + 1 3 .27 .12 2 2

t t f t với  9 4 log 2 t có ( )  = − + 1 3 .27 .ln27 .12 .ln12 2 2

t t f t

( )  =  = 1 3 0 .27 .ln27 .12 .ln12 2 2

t t f t ( )      =  =          27 12

27 ln12 ln12 3. log 3. 1,006 12 ln17 ln27

t

t l

Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/nhatlinh.phan.1401/

Sưu tầm và biên soạn: Phan Nhật Linh Tài liệu luyện thi đại học 2022

Ta có: ( )  = +  1 3 0 .ln27 .ln12 0 2 2 f

Bảng biến thiên:

Gọi T là tập giá trị của P . Đặt   =       9 4 log 2 f .

Từ bảng biến thiên ta có (     =      

0; 1;2;3;4 T T P

Suy ra tập giá trị của P có chứa 4 giá trị nguyên.

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực dương y thoả mãn biểu thức

+ − =

2 2 2 2.2 x y y x ?

A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .

Lời giải

Ta có :

+ − + −+ =  =

2 2 2 2 1 2 2.2 2 2 x y y x x y y x  + = − + 2 2 1 x y y x ( )  − = − − + 2 2 1 * y y x x

Cách 1 :

Yêu cầu bài toán tìm  x đề phương trình (*) có nghiệm y dương.

Xét hàm số ( ) = − 2 f y y y trên ( ) + 0, có ( ) ( )   = − =  = 1 2 1, 0 . 2 f y y f y y

Bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên ta có :