Phương trình nghiệm nguyên liên quan đến mũ - logarit - Trần Trọng Trị

1

CHUYÊN ĐỀ

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

LIÊN QUAN ĐẾN MŨ – LOGARIT

Tác giả: Trần Trọng Trị

Nhóm Giáo viên Toán tiếp sức Chinh phục kỳ thi THPT năm 2020

Tiếp nối chuyên đề Max – Min liên quan đến Mũ – Logarit, chuyên đề này kế

thừa các kĩ năng thu gọn mối quan hệ giữa các biến đã biết như: ( ) ( ) f u f v = ,

( ) ( ) f u f v ≤ , với f là hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước; đánh giá

bằng các bất đẳng thức đơn giản; …. Từ đó sử dụng các kĩ thuật cơ bản liên quan

đến các biến nguyên để giải một bài toán phương trình nghiệm nguyên.

Thầy hy vọng với chuyên đề nhỏ này, sẽ giúp các em có cái nhìn rõ hơn về một

số dạng toán liên quan đến phương trình nghiệm nguyên.

1. Dạng 1: Có đúng một biến nguyên và rút được biến nguyên này theo biến

còn lại. Đến đây, ta xét hàm để tìm miền giá trị cho biến nguyên đó.

Ví dụ 1: (Đề 1 – VTV7) Có bao nhiêu số nguyên dương x sao cho tồn tại số

thực y lớn hơn 1 thỏa mãn ( ) 2 2 3 2 1 log log − + + − − = y x xy x y y x

?

A. 4. B. 2. C. 3. D. Vô số.

Lời giải

Chọn B.

Điều kiện: * * 1 1

2 3 2 3 0 0

y y

x x y x y x x

   > >   ∈ ⇔ ∈     − + − + >   > 

  .

Ta có :

2

( ) 2 2 3 2 1 log log − + + − − = y x xy x y y x ( ) ( ) 2 2 3 log 2log log 2 3 log ⇔ + − − + = − + − xy x y y y y x x

( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 log log 2 3 log ⇔ + − − = − + − xy x y y y x xy ( ) 1

+ Nếu 2 2 3 xy y x > − + thì 0

0

VT

VP

 >  < 

(do log 0 y > ).

+ Nếu 2 2 3 xy y x < − + thì 0

0

VT

VP

 <  > 

(do log 0 y > ).

Do đó, từ ( ) 1 suy ra: 2 2 3 xy y x = − + 2 2 3 1 y x y + ⇔ = +

.

Xét hàm ( ) 2 2 3 1 y f y y + = +

, ( ) 1; y∈ +∞. Ta có:

( ) ( )

2

2 2 2 6 2 0 1

y y f y y

− − + ′ = < +

, ( ) 1; y ∀∈ +∞. Suy ra: Hàm số ( ) f y nghịch biến trên

khoảng ( ) 1;+∞.

Suy ra: ( ) 5 0; 2 x f y   = ∈   

. Vì * x ∈ nên { } 1;2 x ∈ .

Vậy có 2 giá trị x thỏa yêu cầu bài toán.

2. Dạng 2: Khi phương trình rút gọn là phương trình bậc hai theo biến

không nguyên. Ta sử dụngđiều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để

tìm miền giá trị cho biến nguyên.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn

2 2 4 3 + + = x y x y ?

A. 4. B. 2. C. 3. D. Vô số.

Lời giải

Chọn B.

( )

2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 0 log 4 0 2 l 3 og 2 2 log 2 + + ⇔ + − + = ⇔ − − = = + x y x y x y x y y y x x . ( ) *

3

Ta coi ( ) * là phương trình bậc hai theo biến y . Phương trình ( ) * có nghiệm

khi và chỉ khi ( ) ( )

2 2 3 3 0 log 2 2 log 2 0 0,2 1,6 x x x ′ ∆≥ ⇔ − − ≥ ⇒− < < .

Mà x ∈ nên { } 0;1 x ∈ . Vậy có 2 giá trị x thỏa yêu cầu bài toán.

Chú ý:

 Trong câu 1, ta có thể giải theo cách sử dụng điều kiện có nghiệm của

phương trình bậc hai như sau:

Từ 2 2 3 xy y x = − + 2 2 3 0 xy y x ⇔ − + − = ( ) * .

Ta coi ( ) * là phương trình bậc hai theo biến y . Phương trình ( ) * có nghiệm

khi và chỉ khi ( )

2 3 13 3 13 1 3 3 1 0 2 3 x x x x x − + ′ ∆= − − = − + + ≥ ⇒ ≤ ≤ .

Vì * x ∈ nên { } 1;2;3 x ∈ .

 Với 1 x = , ta có : 2 2 2 0 y y − − = có một nghiệm 1 3 1 y = + > (thỏa).

 Với 2 x = , ta có : 2 2 2 1 0 y y − −= có một nghiệm 1 3 1 2 y + = > (thỏa).

 Với 3 x = , ta có :

2 2 3 2 0 0; 3 y y y   − = ⇔ ∈   

(loại do 1 y > ).

Vậy { } 1;2 x ∈ , tức là có 2 số nguyên dương x thỏa yêu cầu bài toán.

 Với cách giải sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai, ta

phải thử lại nghiệm, nên có hạn chế hơn so với phương pháp cô lập, xét

hàm. Do đó, trong một bài toán nếu có thể cô lập, xét hàm thì ta nên

chọn phương pháp này.

Ví dụ 3: (Đề tham khảo lần 2 năm 2020) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho

tồn tại số thực y thỏa mãn ( ) ( ) 2 2 3 4 log log x y x y + = + ?

A. 3. B. 2. C. 1. D. Vô số.

Lời giải

Chọn B.