Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình và bất phương trình mũ

Trang 1/13

CHỦ ĐỀ 4. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Phương trình mũ cơ bản ( ) 0, 1 x a b a a = > ≠ .

● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi 0 b > . ● Phương trình vô nghiệm khi 0 b ≤ . 2. Biến đổi, quy về cùng cơ số

( ) ( ) 1 f x g x a a a = ⇔ = hoặc ( ) ( )

0 1 a

f x g x

< ≠  = 

.

3. Đặt ẩn phụ

( ) ( )

( )

( )

0 0 0 1 0

g x g x t a f a a f t

= >   = < ≠ ⇔   = 

.

Ta thường gặp các dạng:

● ( ) ( ) 2 . . 0 f x f x m a n a p + + =

● ( ) ( ) . . 0 f x f x m a n b p + + = , trong đó . 1 a b = . Đặt ( ), 0 f x t a t = > , suy ra ( ) 1 f x b t = .

● ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 . . . . 0 f x f x f x m a n a b p b + + = . Chia hai vế cho ( ) 2 f x b và đặt

( ) 0

f x a t b   = >    

.

4. Logarit hóa

● Phương trình ( ) ( )

0 1, 0

log

f x

a

a b a b f x b

< ≠ >  = ⇔ = 

.

● Phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log log .log f x g x f x g x a a a a b a b f x g x b = ⇔ = ⇔ =

hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) log log .log . f x g x b b b a b f x a g x = ⇔ =

5. Giải bằng phương pháp đồ thị

o Giải phương trình: ( ) x a f x = ( ) 0 1 a < ≠ . ( ) ∗

o Xem phương trình ( ) ∗ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị x y a = ( ) 0 1 a < ≠ và

( ) y f x = . Khi đó ta thực hiện hai bước:

 Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số x y a = ( ) 0 1 a < ≠ và ( ) y f x = .

 Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

o Tính chất 1. Nếu hàm số ( ) y f x = luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên ( ) ;a b thì số

nghiệm của phương trình ( ) f x k = trên ( ) ;a b không nhiều hơn một và ( ) ( ) , f u f v u v = ⇔ =

( ) , ; u v a b ∀ ∈ .

o Tính chất 2. Nếu hàm số ( ) y f x = liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số

( ) y g x = liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của

phương trình ( ) ( ) f x g x = không nhiều hơn một.

o Tính chất 3. Nếu hàm số ( ) y f x = luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất

phương trình ( ) ( ) ( ) hoac , , f u f v u v u v u v D > ⇔ > < ∀ ∈ .

Trang 2/13

đồng biến trênD thì: ( ) ( ) f u f v u v < ⇒ <

nghịch biến trênD thì: ( ) ( ) f u f v u v < ⇒ >

7. Sử dụng đánh giá

o Giải phương trình ( ) ( ) f x g x = .

o Nếu ta đánh giá được ( ) ( )

f x m

g x m

≥  ≤ 

thì ( ) ( ) ( ) ( )

f x m f x g x g x m

=  = ⇔ = 

.

8. Bất phương trình mũ

• Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 1

f x g x

a

f x g x a a a

f x g x

 >   >   > ⇔ < <    <  

. Tương tự với bất phương trình dạng:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x

f x g x

a a

a a

a a

 ≥  <   ≤ 

• Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: ( )( ) 1 0 M N a a a M N > ⇔ − − > .

• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: + Đưa về cùng cơ số.

+ Đặt ẩn phụ.

+ Sử dụng tính đơn điệu: ( ) ( )

y f x

y f x

=  = 

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 1. Cho phương trình

2 4 5 3 9 x x − + = tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là: A. 28. B. 27. C. 26. D. 25. Hướng dẫn giải Ta có:

2 2 4 5 4 5 2 2 2 1 3 9 3 3 4 5 2 4 3 0 3

x x x x x x x x x x

− + − + =  = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔=  Suy ra 3 3 1 3 28 + = . Chọn đáp án A Câu 2. Cho phương trình :

2 3 8 2x 1 3 9 x x − + − = , khi đó tập nghiệm của phương trình là:

A. { } 2;5 S = B. 5 61 5 61 ; 2 2 S   −− −+   =      

C. 5 61 5 61 ; 2 2 S   − +   =      

D. { } 2; 5 S = − − .

Hướng dẫn giải

2

2

3 8 2x 1

3 8 4x 2 2 2

3 9

5 3 3 3 8 4x 2 7 10 0 2

x x

x x x x x x x x

− + −

− + −

=

=  ⇔ = ⇔ − + = − ⇔ − + = ⇔=  Vậy { } 2;5 S =

Câu 3. Phương trình 1 1 3 2 9

x x −   = +    

có bao nhiêu nghiệm âm?

A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. Hướng dẫn giải