Các phương pháp giải nhanh bài tập trắc nghiệm môn Toán THPT

PHẦN I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ

ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM QUAN HỆ

GIỮA TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

1. Kiến thức cơ bản

1. Điều kiện hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số ( ) f x xác đinh trên khoảng I thì:

a. Hàm số ( ) f x là đồng biến trên khoảng I nếu với mọi x I  ta có ( ) ( ) 0 f x x f x x +  −   .

b. Hàm số ( ) f x là nghịch biến trên khoảng I nếu với mọi x I  ta có ( ) ( ) 0 f x x f x x +  −   .

Từ kết quả đó ta có :

Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm trên khoảng liên thông I :

+ Nếu hàm số ( ) f x đồng biến trên khoảng I thì ( ) 0; f x x I   .

+ Nếu hàm số ( ) f x nghịch biến trên khoảng I thì ( ) 0; f x x I   .

2. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Định lý : Nếu hàm số ( ) y f x = liên tục trên đoạn   ;a b và có đạo hàm trên khoảng ( ) ;a b thì tồn

tại một số ( ) ; c a b  sao cho : ( ) ( ) ( )( ) f b f a f c b a  − = − hay ( ) ( ) ( ) f b f a f c b a −  = − .

Ý nghĩa của định lý: Xét cung AB của đồ thị hàm số ( ) y f x = với ( ) ( ) ; A a f a và ( ) ( ) ; B b f b .

Khi đó ta có:

- Hệ số góc của tiếp tuyến với cát tuyến AB là ( ) ( ) f b f a k b a − = −

- Đẳng thức ( ) ( ) ( ) f b f a f c b a −  = − có nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến của cung AB tại điểm

( ) ( ) ; C a f c bằng hệ số góc của cát tuyến AB . Vậy nếu các giả thiết của định lý

Lagrange được thỏa mãn thì tồn tại một điểm C của cung AB sao cho tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến AB.

Định lí 2: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên khoảng I .

a. Nếu ( ) 0, f x x I    thì ( ) f x đồng biến trên khoảng I .

b. Nếu ( ) 0, f x x I    thì ( ) f x nghịch biến trên khoảng I .

c. Nếu ( ) 0, f x x I  =  thì ( ) f x không đổi trên khoảng I .

Ta có mở rộng của định lí 2 như sau:

Định lí 3: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên khoảng I .

a. Nếu ( ) 0, f x x I   , và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng I thì

( ) f x đồng biến trên khoảng I .

b. Nếu ( ) 0, f x x I   , và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng I thì

( ) f x nghịch biến trên khoảng I .

Ta tóm tắt định lí 3 trong các bảng biến thiên sau:

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên ?

A. ( )

2 2 1 3 . y x x = + − B. 2 1. y x x = + C. 1 . y x x = − D. cot . y x = −

Lời giải

Chọn B.

➢ Lời giải tự luận 1: (Thực hiện từ trái qua phải): Ta lần lượt:

x

y

y

− + a b

+

x

y

y

− + a b

−

▪ Với hàm số ( )

2 2 1 3 y x x = + − xác định trên thì:

( ) 2 3 4 1 3 4 4 3 y x x x x = + − = + −

Hàm số không thể đồng biến trên bởi ( ) 0 3 0 y = − , do đó đáp án A bị loại.

▪ Với hàm số 2 1 y x x = + xác định trên thì:

2 2

2 1 0 1

x y x

x = + +  +

, x  .

Do đó đáp án B là đúng, tới đây ta dừng lại.

➢ Lời giải tự luận 2: (Thực hiện từ phải qua trái): Ta lần lượt:

▪ Với hàm số cot y x = − xác định trên   \ , k k   nên đáp án D bị loại.

▪ Với hàm số 1 y x x = − xác định trên  \ 0 nên đáp án C bị loại.

▪ Với hàm số 2 1 y x x = + xác định trên thì:

2 2

2 1 0 1

x y x

x = + +  +

, x  .

Do đó đáp án B là đúng, tới đây ta dừng lại.

➢ Lựa chọn đáp án bằng phép thử: Ta lần lượt đánh giá:

▪ Trước tiên, hàm số đồng biến trên thì phải xác định trên . Do đó, các đáp án C và D bị loại. Tới đây ta chỉ còn phải lựa chọn A và B.

▪ Vì A là hàm số bậc bốn nên có đạo hàm là một đa thức bậc ba, và một đa thức bậc ba thì không thể luôn dương (do phương trình bậc ba luôn có ít nhất một nghiệm), suy ra đáp án A không thỏa mãn.

Do đó, việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn.

 Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán trên thì: ▪ Trong cách giải tự luận 1 chúng ta lần lượt thử từ trái qua phải cho các hàm số bằng việc thực …