Giải chi tiết 214 bài toán trắc nghiệm ứng dụng thực tiễn - Trần Thông

Quà tặng 08/03 Fanpage Toán Học Bắc Nam

Bài tập toán thực tế Trang 1

Câu 1: Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng: A. 6.5km B. 6km C. 0km D.9km

Hướng dẫn giải Đặt

Chi phí xây dựng đường ống là

Hàm , xác định, liên tục trên và

; ;

Vậy chi phí thấp nhất khi . Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km. Câu 2: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí có khoảng cách đến bờ biển .Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí cách một khoảng .Người canh hải đăng có thể chèo đò từ đến trên bờ biểnvới vận tốc rồi đi bộ đến với vận tốc .Vị trí của điểm cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Đặt .

Ta có: Thời gian chèo đò từ đến là:

Thời gian đi bộ đi bộ đến là:

Thời gian từ đến kho

' ( ) , [0;9]   x B C km x

2 36; 9     BC x AC x

2 ( ) 130.000 36 50.000(9 ) ( )     C x x x USD

( ) C x [0;9]

2 13 '( ) 10000. 5 36

        

x C x x

2 '( ) 0 13 5 36     C x x x

2 2 2 25 5 169 25( 36) 4 2        x x x x

(0) 1.230.000  C 5 1.170.000 2       C (9) 1.406.165  C

2,5  x

A 5 AB km  C B 7km A M 4 / km h C 6 / km h M

0km 7km 2 5 km  14 5 5 km 12

( ) 7 ( ) BM x km MC x km ,(0 7) x

A M

2 25 ( ). 4 AM x t h  

C 7 ( ) 6 MC x t h  

A

2 25 7 4 6 x x t    

9km

6km

đảo

bờ biển

biển

A

B

B'

Quà tặng 08/03 Fanpage Toán Học Bắc Nam

Bài tập toán thực tế Trang 2

C

B A G

Khi đó: , cho

Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh nhất khi

Câu 3: Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo (điểm C). biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là 100km, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây điện trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G đến C chi phí ít nhất. A: 40km B: 45km C: 55km

Hướng dẫn giải Gọi (0 100) 100 BG x x AG x      

Ta có 2 2 2 3600 GC BC GC x    

Chi phí mắc dây điện: 2 ( ) 3000.(100 ) 5000 3600 f x x x     Khảo sát hàm ta được: 45 x  . Chọn B. Câu 4: Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho

góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó ? (BOC gọi là góc nhìn) A. 2,4 AO m  B. 2 AO m  C. 2,6 AO m  D. 3 AO m 

Hướng dẫn giải

2 1 6 4 25

x t x   

0 2 5 t x   

2 5( ). x km

O A

C

B

1,4

1,8

Quà tặng 08/03 Fanpage Toán Học Bắc Nam

Bài tập toán thực tế Trang 3

Với bài toán này ta cần xác định OA để góc BOC lớn nhất. Điều này xảy ra khi và chỉ khi tanBOC lớn nhất. Đặt OA = x (m) với x > 0,

ta có tanBOC = tan(AOC - AOB) = tan tan 1 tan .tan AOC AOB AOC AOB  

=

2 . 1

AC AB OA OA AC AB OA





=

2

1,4

3,2.1,8 1

x

x 

= 2 1,4 5,76 x x 

Xét hàm số f(x) = 2 1,4 5,76 x x 

Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất. Ta có

f'(x) =

2

2 2 1,4 1,4.5,76 ( 5,76) x x    , f'(x) = 0  x = 2,4

Ta có bảng biến thiên

Hướng dẫn giải

Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D.

Thời gian t là: t =

1 2

AC CD v v  =

1 2

AE CE CD v v   =

=

1 2 tan sin h h

v v     =

1 2

.cot sin h h v v    

Xét hàm số

1 2

.cot ( ) sin h h t v v       . Ứng dụng Đạo hàm ta được ( ) t  nhỏ nhất khi

2

1 cos v v  . Vậy để t nhỏ nhất ta chọn C sao cho 2

1 cos v v  .

Câu 6: Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu

0

f(x)

+ 2,4

+ _

0

0

x

f'(x)

B A C

D

E

h 

A B C

D

E

h

Câu 5: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định một trạm trung chuyển hàng hóa C và xây dựng một con đường từ C …