Bài toán thực tế và bài toán tối ưu min - max - Lê Viết Nhơn

Giáo viên sưu tầm và biên soạn: Lê Viết Nhơn

Facebook: www.facebook.com/viet.nhon Trang 1

BÀI TOÁN THỰC TẾ BÀI TOÁN TỐI ƯU MIN - MAX Tài liệu có tham khảo nguồn: 1) Bài toán tối ưu Min_max của thầy Lê Bá Bảo. 2) Tuyển chọn các bài toán thực tế của thầy Nguyễn Văn Rin. 3) Một số bài toán của thầy Hồ Hà Đặng A. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA PHẦN 1. BÀI TOÁN THỰC TẾ_TỐI ƯU

Ví dụ 1. (SGK 12 CB) Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi   16 cm , hãy tìm hình chữ

nhật có diện tích lớn nhất. Hướng dẫn giải

Hình vuông có cạnh bằng   4 cm là hình có diện tích lớn nhất và   2 max 16 S cm 

Ví dụ 2. (SGK 12 CB) Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích   2 48 m , hãy xác định hình

chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. Hướng dẫn giải:

Hình vuông có cạnh bằng  4 3 m là hình có chu vi nhỏ nhất và  min 16 3 . P m 

Ví dụ 3. (SGK BT 12 CB) Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính , R hãy tìm hình trụ có thể tích lớn nhất. Hướng dẫn giải: Kí hiệu chiều cao, bán kính đáy và thể tích của hình trụ nội tiếp hình cầu lần lượt là , h r và . V

Khi đó: 2. V h r  

Vì

2 2 3 2 2 2 2 . 4 4 4 h h h r R V h R hR                     

Ví dụ trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số   

3 2 , 0; 2 . 4 h V h hR h R         

Ta có: 

2 2 3 2 ' 0 . 4 3

h R V h R h           

Bảng biến thiên:

h 0 2

3

R 2R

' V  0  V

0

3 4

3 3

R  0

Từ BBT, suy ra  

3

0;2 2 4 max . 3 3 3 R

R R V V         

Giáo viên sưu tầm và biên soạn: Lê Viết Nhơn

Facebook: www.facebook.com/viet.nhon Trang 2

Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R có thể tích lớn nhất khi chiều cao của nó bằng 2

3

R .

Khi đó, thể tích khối trụ là

3 4 . 3 3

R 

Ví dụ 4. (Team 12 Huế) Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng   30 . cm Người ta gập

tấm kẽm theo hai cạnh EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là

A.   5 . x cm  B.   9 . x cm  C.   8 . x cm  D.   10 . x cm 

Hướng dẫn giải: Ta có: Δ , 30 2 15. DHF DF CH x FH x p      

Thể tích khối lăng trụ như hình vẽ là

    . 30 15 15 15 15 30 2 FDH V S EF x x x      

   2 15 30 15 15 2 15 , ;15 2 x x x              

Xét hàm số     2 15 2 15 f x x x   

         2 ' 2 15 2 15 2 15 2 15 3 30 f x x x x x x        



10 ' 0 . 15

x f x x

     Bảng biến thiên: Dựa vào BBT,  15;15 2 max 125 f x          

 khi 10. x 

Do đó thể tích khối lăng trụ như hình vẽ lớn nhất khi   10 . x cm 

Khi đó   3 max 750 3 . V cm 

Giáo viên sưu tầm và biên soạn: Lê Viết Nhơn

Facebook: www.facebook.com/viet.nhon Trang 3

Lựa chọn đáp án D.

Ví dụ 5. (SGK BT 12 CB) Một chất điểm chuyển động theo quy luật 

2 3 6 . s t t t   Tính thời

điểm t (giây) tại đó vận tốc   / v m s của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải: Theo giả thiết:    2 3 6 , 0; . s t t t t    

Vận tốc của chuyển động là  

2 ' 12 3 . v t s t t t   

Ta có:  ' 12 6 0 2. v t t t     

Bảng biến thiên:

t 0 2   'v t  0 

 v t

12

Dựa vào BBT, ta có      0;max 2 12 / v t v m s    . Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi  2 . t s 

Ví dụ 6. (SGK BT 12 CB) Cho số dương m . Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất. Hướng dẫn giải: Cho 0. m  Đặt x là số thứ nhất, 0 , x m   số thứ hai là . m x 

Xét tích      , 0; P x x m x x m    . Ta có:  ' 2 0 . 2 m P x x m x     

Bảng biến thiên:

x 0

2 m m

 ' P x  0 

 P x

2

4 m

Từ BBT, ta có   

2

0; max . 2 4 m

m m P x P        Vậy phân tích m thành tổng hai số . 2 m

Ví dụ 7. (SGK BT 12 CB) Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất. Hướng dẫn giải: Gọi một trong hai số phải tìm là ,x ta có số kia là 13. x 

Xét tích    13 P x x x   . Ta có:  13 ' 2 13 0 . 2 P x x x     

Bảng …