Tìm điều kiện của x để bất phương trình mũ - lôgarit đúng với y thỏa mãn điều kiện

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC

CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1

BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA x ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LÔGARIT

ĐÚNG VỚI y THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

PHƯƠNG PHÁP Bước 1 : Biến đổi bất phương trình về dạng

          ; ; f a f b f a f b f a f b f a f b    

Bước 2 : Xét hàm số  y f x  , chứng minh hàm số luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến Bước 3 : Do tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số

+   f a f b a b    nếu hàm số đồng biến .

+   f a f b a b    nếu hàm số nghịch biến .

Câu 1. Có bao nhiêu bộ   ;x y với ,x y nguyên và 1 , 2020 x y   thỏa mãn

    3 2 2 2 1 2 4 8 log 2 3 6 log 2 3 y x xy x y x y xy y x                      

?

A. 2017 . B. 4034 . C. 2 . D. 2017 2020  . Lời giải Chọn B

+ Điều kiện

* * , : , 2020 , : , 2020 2 1 2 0, 0 3, 0 3 2

                        

  x y x y x y x y x y x y x y

.

BPT đã cho có dạng      

 * 2 3 4 2 3 2 log 1 4 2 log 1 0 3 2 x y x y x y x y                        

.

Do 0 y  , y nguyên dương nên:

+ Xét 1 y  thì thành     2 3 4 2 3 log 1 3 4 log 0 3 3 x x x x

             

, rõ ràng BPT này nghiệm

đúng với mọi 3 x  vì       2 2 3 4 2 3 0, log 1 log 0 1 0, 3 4 0, log 0 3 3 x x x x

                 

.

Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ     ; ;1 x y x  với 4 2020, x x   .

+ Xét 2 y  thì thành   3 4 4 log 1 0 x   , BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà

4 2020, x x   .

Trường hợp này cho ta 2017 cặp   ;x y nữa.

+ Với 2, 3 y x   thì  * 0 VT  nên không xảy ra.

Vậy có đúng 4034 bộ số   ;x y thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương   ;x y thỏa mãn điều kiện 2020 x  và

   

3 3 3 9 2 log 1 2 y y x x      ?

A. 4 . B. 2 . C. 3772 . D. 3774. Lời giải Chọn D

Ta có       3 3 3 3 9 2 log 1 2 3.9 6 3log 1 2 y y y x x y x x           

      2 1

3 3 3 2 1 1 3log 1 y y x x         . (*)

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC

Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Xét hàm số  3 3 t f t t   có  3.ln3 3 0, t f t t     .

Suy ra hàm số  3 3 t f t t   đồng biến trên .

Do đó         

2 1 3 3 * 2 1 log 1 2 1 log 1 3 1 y f y f x y x x           .

Vì 2020 x  nên 2 1 3 log 2021 1 3 1 2020 2,9 2

y y       .

Với giả thiết y nguyên dương suy ra   1;2 y .

Với 1 y  có 26 2020 x   suy ra có 1995 cặp số   ;x y thỏa mãn .

Với 2 y  có 242 2020 x   suy ra có 1779 cặp số   ;x y thỏa mãn .

Vậy có tất cả 3774 cặp số   ;x y thỏa mãn đề bài.

Câu 3. Cho các số nguyên dương x , y không lớn hơn 4022. Biết mỗi giá trị của y luôn có ít nhất

2021 giá trị của x thỏa mãn bất phương trình   2 2 3 3 .log 3 3 x y y x y x x y      . Hỏi có bao nhiêu

giá trị của y ?

A. 2000 . B. 2001. C. 2021. D. 2022. Lời giải Chọn A Do x , y nguyên dương nên ĐKXĐ là 2 x  .

Ta có:   2 2 3 3 .log 3 3 x y y x y x x y         3 3 .log 3 3 1 x x y y x y     

+ Nếu 1 y : Không thỏa mãn.

+ Nếu 2 y  :  1   3 3 3 3 2 ln ln

x x y y

x y

     .

Xét hàm số  3 3 ln

t t f t t

   trên   2;.

    

        2 2 2 3 3 ln3.ln 3 3 2.3 .ln 2 3 3 .ln 4 3 0 2; ln ln ln

t t t t t t t t t t f t t t t t t t t

             .

Hàm số  f t đồng biến trên trên   2;.

Do đó  2    f x f y  x y  2 1 4021 y x   

 2

4021 1 2021

y

y

     

2 2001 y   .

Vậy có 2000 giá trị nguyên của y thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 4. Có bao nhiêu số nguyên x để không có quá 25 giá trị nguyên của y thỏa mãn bất phương

trình 3 6 4 2 2 2 log log 2 1 x x y y y     ?

A. 4215 . B. 4214 . C. 8413. D. 8412. Lời giải Chọn C ĐKXĐ: 1 x . + Nếu 1 x : không có giá trị y thỏa mãn BPT đã cho nên 1 y  thỏa mãn. + Nếu 2 x  …