Tài liệu chuyên đề ứng dụng của tích phân trong hình học

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Page 103

BÀI 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Định lý 1: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục, không âm trên ;a b    . Khi đó diện tích S của hình

thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x = , trục hoành và 2 đường thẳng , x a x b = = là:

( )

b

a S f x dx = ∫

2. Bài toán liên quan

Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số = y f x ( ) liên tục trên đoạn     a b; ,

trục hoành và hai đường thẳng = x a , = x b được xác định: = ∫

b

a S f x dx ( )

Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số = y f x ( ), = y g x ( ) liên tục trên

đoạn     a b; và hai đường thẳng = x a , = x b được xác định: = − ∫

b

a S f x g x dx ( ) ( )

CHƯƠNG

III

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

LÝ THUYẾT. I

= = =  = 

( )

( )

y f x y 0 H x a x b a 1c 2c

= ( ) y f x

y

O x

3c b

= ∫

b

a S f x dx ( )

 =  =  =   = 

1 1

2 2

( ): ( ) ( ): ( ) ( )

C y f x C y f x H x a x b

1 ( ) C

2 ( ) C

= − ∫

b

a S f x f x dx 1 2 ( ) ( ) a 1c

y

O b x 2c

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Page 104

Chú ý:

- Nếu trên đoạn [a b] ; , hàm số f x ( ) không đổi dấu thì: = ∫ ∫

b b

a a f x dx f x dx ( ) ( )

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

Bài toán 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường = x g y ( ), = x h y ( ) và hai đường

thẳng = y c , = y d được xác định: = − ∫

d

c S g y h y dy ( ) ( )

Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị 1 1 ( ) : ( ) C f x , 2 2 ( ) : ( ) C f x là:

1 ( ) ( )

n x

x S f x g x dx = − ∫ . Trong đó: 1, n x x tương ứng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

( ) ( ) f x g x =

II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRÒN XOAY

1. Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b;

S x ( ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x ,

≤ ≤ a x b ( ). Giả sử S x ( ) là hàm số liên tục trên đoạn [a b] ; .

2. Thể tích khối tròn xoay

Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

= y f x ( ), trục hoành và hai đường thẳng = x a , = x b quanh trục Ox:

= ∫

b

a S x dx V ( ) x O

a b

( ) V

S(x)

x

( ): ( ) ( ):

 =  = =  = 

C y f x Ox y 0 x a x b

[ ]

2 ( )

b

x a V f x dx = π∫ a

= ( ) y f x

y

O b x

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Page 105

Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

= x g y ( ), trục hoành và hai đường thẳng = y c , = y d quanh trục Oy:

Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

= y f x ( ), = y g x ( ) và hai đường thẳng = x a , = x b quanh trục Ox:

b

a V f x g x dx 2 2 ( ) ( ) π = − ∫

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Dạng 1: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ),O , , . y f x x x a x b = = =

Phương pháp Giải theo phương pháp tự luận: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân để tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối .

+) Tính chất: Hàm số ( ) y f x = liên tục trên K và , , a b c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó, ta có

( ) ( ) ( )

b c b

a a c f x dx f x dx f x dx = + ∫ ∫ ∫

Phương pháp trắc nghiệm:

- Xác định các yếu tố cần thiết như công thức ( ), , , . y f x Ox x a x b = = =

- Sử dụng chức năng tính tích phân có sẵn trong máy tính Casio để tính.

Chú ý: Nếu đề bài chưa cho , x a x b = = thì ta cần giải phương trình hoành độ giao điểm

( ) 0 f x = để tìm cận tích phân.

Câu 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 4 y x = , trục hoành và hai đường thẳng

1 x = −, 3 x =

Câu 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 1 1 y x = − , trục Ox và hai đường thẳng 1 , 2 2 x x = = có diện

tích là

Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 4 2 y x x = − và trục hoành

c

y

O

d

x

( ): ( )

( ):

 =  = …