Tài liệu chuyên đề nguyên hàm và một số phương pháp tìm nguyên hàm

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Page 1

BÀI 1. NGUYÊN HÀM

Kí hiệu K là một khoảng, hay một đoạn hay một nửa khoảng.

1) Định nghĩa: Cho hàm số ( ) f x xác định trên K . Hàm số ( ) F x được gọi là nguyên hàm của hàm

số ( ) f x trên K nếu ( ) ( ) F x f x ′ = với mọi x thuộc K .

2) Định lý

a. Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên K thì R C ∀ ∈ hàm số ( ) F x C + cũng là một

nguyên hàm của ( ) f x trên K .

b. Đảo lại nếu ( ) ( ) , F x G x là hai nguyên hàm của ( ) f x trên K thì tồn tại một hằng số C sao

cho ( ) ( ) F x G x C = +

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) f x ký hiệu là ( ) ( ) f x F x C = + ∫ .

Chú ý: Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K ” 3) Tính chất của nguyên hàm.

a. Nếu ,f g là hai hàm số liên tục trên K thì [ ] ( ) ( ) d ( )d ( )d f x g x x f x x g x x ± = ± ∫ ∫ ∫ .

b. ( )d ( )d kf x x k f x x = ∫ ∫ với mọi số thực k khác 0.

Suy ra [ ] . ( ) . ( ) d ( )d ( )d k f x l g x x k f x x l g x x + = + ∫ ∫ ∫

c. ( ) ( )d ( ) f x x f x ′ = ∫ .

4) Công thức nguyên hàm từng phần

d d u v uv v u = − ∫ ∫ .

5) Công thức đổi biến số

( ) ( ) ( ) [ ] d [ ] f u x u x x F u x C ′ = + ∫ .

CHƯƠNG

III

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Page 2

6) Bảng nguyên hàm và vi phân của những hàm số thường gặp

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định. Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:

a) Nếu: ( ) ( ) f x F x C = + ∫ và với ( ) u x = là hàm số có đạo hàm thì: ( ) ( ) f u du F u C = + ∫

b) Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt ( ) x t ϕ = . Trong đó ( )t ϕ cùng với đạo hàm của nó ( ( ) ' t ϕ

là những hàm số liên tục ) thì ta được: ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) f x dx f t t dt g t dt G t C ϕ ϕ = = = +     ∫ ∫ ∫ .

Từ đó ta trình bày hai dạng toán về phương pháp đổi biến số như sau:

Dạng 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 để tính nguyên hàm: ( ) I f x dx = ∫ .

PHƯƠNG PHÁP CHUNG.

Hàm sơ cấp Hàm số hợp ( ) u u x = Thường gặp

1) dx x C = + ∫ 1) du u C = + ∫ . 1) Vi phân ( ) 1 d d ax b x a + =

( )

1 2) d 1 1 x x x C

α α α α

+ = + ≠− + ∫ ( )

1 2) d 1 1 u u u C

α α α α

+ = + ≠− + ∫ ( )

1 1 1 2) d ( ) 1 a x b x ax b C a

α α α

+ + = ⋅ + + + ∫

( ) d 3) ln 0 x x C x x = + ≠ ∫ ( ) ( ) d 3) ln 0 u u C u x u = + ≠ ∫ ( ) d 1 3) ln 0 x ax b C a ax b a = + + ≠ + ∫

4) cos d sin x x x C = + ∫ 4) cos d sin u u u C = + ∫ 1 4) cos( )d sin( ) ax b x ax b C a + = + + ∫

5) sin d cos x x x C = − + ∫ 5) sin d cos u u u C = − + ∫ 1 5) sin( )d cos( ) ax b x ax b C a + = − + + ∫

2 1 6) d tan cos x x C x = + ∫

Với 2 x k π π ≠ +

2 1 6) d tan cos u u C u = + ∫

Với ( ) 2 u x k π π ≠ +

( ) ( ) 2 d 1 6) tan cos x ax b C ax b a = + + + ∫

2 1 7) d cot sin x x C x = − + ∫ .

Với x kπ ≠

2 1 7) d cot sin u u C u = − + ∫

Với ( ) u x kπ ≠

( ) ( ) 2 d 1 7) cot sin x ax b C ax b a − = + + + ∫

8) d x x e x e C = + ∫ 8) d u u e u e C = + ∫ 1 8) d ax b ax b e x e C a

+ + = + ∫

( ) 9) d 0 1 ln

x x a a x C a a = + < ≠ ∫ ( ) 9) d 0 1 ln

u u a a u C a a = + < ≠ ∫ ( ) 1 9) d 0 1 .ln

px q px q a x a C a p a

+ + = + < ≠ ∫

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. II

LÝ THUYẾT. 1