Chuyên đề trắc nghiệm tích phân đặc biệt và nâng cao

CHỦ ĐỀ 11: TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ NÂNG CAO

1) Một số dạng tích phân đặc biệt

 Mệnh đề 1: Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [ ] a;a − thì

a a

a 0 f (x)dx 2 f (x)dx

− = ∫ ∫

 Mệnh đề 2: Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [ ] a;a − thì

a

a f (x)dx 0

− = ∫

 Mệnh đề 3: Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [ ] a;a − thì

a a

x a 0

f (x) dx f (x)dx m 1 − = + ∫ ∫

 Mệnh đề 4: Nếu f(x) là hàm số liên tục trên [ ] 0;1 thì

2 2

0 0 f (sinx)dx f (cos x)dx

π π

= ∫ ∫

Để chứng minh hoặc tính toán các tích phân đặc biệt trên, thông thường ta sử dụng các phương pháp đổi

biến như sau:

 Với

a

a I f (x)dx

− = ∫ ta có thể lựa chọn việc đặt x t = −

 Với

2

0 I f (x)dx

π

= ∫ ta có thể lựa chọn việc đặt t x 2 π = −

 Với

0 I f (x)dx

π = ∫ ta có thể lựa chọn việc đặt t x = π −

 Với

2

0 I f (x)dx

π = ∫ ta có thể lựa chọn việc đặt t 2 x = π −

Ví dụ 1: Cho f(x) là hàm số lẻ liên tục trên đoạn [ ] 1;1 − và

1

0 f (x)dx 10

− = ∫ . Tính

1

0 I f (x)dx = ∫

A. 5 I = − B. 5 I = C. 10 I = − D. 10 I =

Lời giải

Do f(x) là hàm số lẻ nên

1 0 1

1 1 0 f (x)dx f (x)dx f (x)dx 0

− − = + = ∫ ∫ ∫

1 0 1

0 1 0 f (x)dx f (x)dx f (x)dx 10

−

− ⇒ = − = = ∫ ∫ ∫ Chọn D.

Ví dụ 2: Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [ ] 3;3 − và

0

3 f (x)dx 2

− = ∫ . Tính

3

3 I f (x)dx

− = ∫

A. 2 I = B. 4 I = C. 2 I = − D. 4 I = −

Lời giải

Do f(x) là hàm số chẵn nên

3 0 3

3 3 0 I f (x)dx 2 f (x)dx 2 f (x)dx 2.2 4

− − = = = = = ∫ ∫ ∫ . Chọn D.

Ví dụ 3: Giả sử tích phân

2 2 3 x

2

x cos x I dx a b c 1 3

π

π −

+ = = π + π + + ∫ , trong đó , , a b c∈. Tính S 8a 4b c = + +

A. 5 3 B. 4 3 C. 8 3 D. 2 3

Lời giải

Đặt t x dt dx = −⇒ = − và đổi cận 2 2

2 2

x t

x t

π π

π π

= − ⇒=

= ⇒= −

Khi đó

2 2 2 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) cos cosx 3 3 1 1 3 1 3 3

x t t x

t

t cos t t t x I dt dt dx

π π π

π π π

−

−

− −

− + − + + = − = = + + + ∫ ∫ ∫

3 3 2 2 2

2 2

1 1 2 ( cosx) sinx 1 ; 0; 1 2 3 24 24 x I x dx I a b c

π π

π π

π

− −

  ⇒ = + ⇒ = + = + ⇒ = = =     ∫

Do đó 4 3 S = . Chọn B.

Ví dụ 4: Giả sử tích phân 2 2 0

xsin xdx I a b c 1 cos x

π = = π + π + + ∫ , trong đó , , a b c∈. Tính S a b c = + −

A. 1 2 = S B. 1 2 − = S C. 1 4 = I D. 1 4 − = I

Lời giải

Đặt 2 2 2 2 0 0 0 0

xsin xdx ( t)sin( t) ( t)sint ( x)sinx dx t x I ( dt) dt 1 cos x 1 cos ( t) 1 cos t 1 cos x

π π π π π − π − π − π − = π − ⇒= = − = = + + π − + + ∫ ∫ ∫ ∫

Khi đó

1 2 4 v tanu 2 2 2 0 0 1 4

sin xdx d(cos x) du 2I du 1 cos x 1 cos x 1 u 2

π − π π − =

π

− π = π = π = −π →−π = + + + ∫ ∫ ∫ ∫

Do đó

2 1 1 ; 0 4 4 4 = ⇒ = = = ⇒ = I a b c S π . Chọn C.

2) Một số dạng tích phân vận dụng cao

 Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau:

(1) . ( ). '( ) '(x).f(x) h(x) + = u x f x u

(2). 2 '( ). ( ) (x).f'(x) h(x) ( ) − = u x f x u f x

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức: ( )' ' ' = + uv u v v u và

'

2 ' ' u u v v u v v −  =    

(1). Biến đổi: [ ] ( ). '( ) '(x).f(x) h(x) ( ). ( ) ' ( ) ( ). ( ) ( ) + = ⇔ = ⇒ = ∫ u x f x u u x f x h x u x f x h x dx

(2). Biến đổi:

'

2 '( ). ( ) (x).f'(x) ( ) ( ) h(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x f x u u x u x h x h x dx f x f x f x   − = ⇔ = ⇒ =     ∫

 Dạng 2. Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau:

(1) . '( ) ( ) ( ) + = f x f x h x

2). '( ) f(x) h(x) − = f x

Phương pháp giải:

(1). Biến đổi: '( ) ( ) ( ) e . '( ) . ( ) . ( ) + = ⇒ + = x x x f x f x h x f x e f x e h x

. ( ) . ( ) . ( ) . ( ) ′   ⇔ = ⇔ =   ∫ x x x x e f x e h x e f x e h x dx

(2). Biến đổi: '( ) ( ) ( ) e . '( ) . ( ) . ( ) − − − − = ⇒ − = x x x f x f x h x f x e f x e h x

. ( ) . ( ) . ( ) . ( ) − − − − ′   ⇔ = ⇔ =   ∫ x x x x e f x e h x e f x e h x dx

 Dạng 3. Bài toán tổng quát: '( ) ( ). ( ) ( ) + = f x p x f x h x

Phương pháp giải:

Nhân 2 vế với

( ) ∫p x dx e ta được

( ) ( ) ( ) . '( ) . ( ). ( ) . ( ) ∫ ∫ ∫ + = p x dx p x dx p x dx e f x e p x f x e h x

( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ). . ( ) ( ). ′   ∫ ∫ ∫ ∫ ⇔ = ⇒ =     ∫

p x …