Chuyên đề trắc nghiệm công thức từng phần tính tích phân

CHỦ ĐỀ 9: CÔNG THỨC TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Công thức tích phân từng phần: Nếu ( ) u u x = và ( ) v v x = là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ ] ;a b thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a u x v x dx u x v x u x v x dx ′ ′ = −     ∫ ∫

Hay

b b b

a a a udv uv vdu = − ∫ ∫

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần

Ví dụ 1: Cho tích phân 2

0 cos I x xdx

π = ∫ và 2; cos u x dv xdx = = . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 2

0 0 sin sin I x x x xdx

π π = −∫ . B. 2

0 0 sin sin I x x x xdx

π π = +∫ .

C. 2

0 0 sin 2 sin I x x x xdx

π π = + ∫ . D. 2

0 0 sin 2 sin I x x x xdx

π π = −∫ .

Lời giải

Ta có

2 2

0 0

2 sin 2 sin sin cos

du xdx u x I x x x xdx v x dv xdx

π π = =  ⇒ ⇒ = −  = =   ∫ . Chọn D.

Ví dụ 2: Cho tích phân ( )

2 2

0 2 1 x x e dx ae be c + = + + ∫ ( ) , , a b c∈. Tính 2 2 2 S a b c = + +

A. 13 S = . B. 10 S = . C. 5 S = . D. 8 S = .

Lời giải

Đặt ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

0 0 0 0

2 1 2 2 1 2 1 2 1 3 1 x x x x x x u x du dx x e dx x e e dx x e e du e dx v e

= + =   ⇒ ⇒ + = + − = − = +   = =   ∫ ∫

Suy ra 2 2 2 3; 0; 1 10 a b c S a b c = = = ⇒ = + + = . Chọn B.

Ví dụ 3: Cho tích phân ( )

2 2 2

0 1 sin I x xdx a b c

π

= + = π + π + ∫ với , , a b c∈. Tính 2 2 2 T a b c = + +

A. 9 T = . B. 12 T = . C. 2 T = . D. 10 T = .

Lời giải

Đặt

2 2 1 cos sin

du xdx u x v x dv xdx

= = +  ⇔  = − =  

Khi đó ( )

2 2 2 2 0 0 0 1 cos 2 cos 1 2 cos I x x x xdx x xdx

π π

π = − + + −+ ∫ ∫

Xét tích phân

2

0 cos J x xdx

π

= ∫ , ta đặt cos sin

u x du dx dv xdx v x

= =   ⇔   = =  

Khi đó

2 2 2 0 0 0 sin sin cos 1 2 2 J x x xdx x

π π π π π = − = + = − ∫

Vậy

0

1 1 2

1

a

I b T

c

=   = π −⇒ = ⇒ =  = − 

. Chọn C.

Ví dụ 4: Cho tích phân ( )

3 2

2 3 1 ln ln3 ln 2 I x xdx a b c = + = + + ∫ với , , a b c∈. Khẳng định nào dưới đây là

khẳng định đúng?

A. 3 a b = . B. 3 a b = − . C. 40 a b + = . D. 20 a b − = .

Lời giải

Đặt ( ) ( ) ( )

3 3 3 2 2 2 3 2

ln ln 1 3 1

dx u x du I x x x x x dv x dx v x x

 =  =   ⇔ ⇒ = + − +   = +    = +  ∫

3 3

2

22 30ln3 10ln 2 30ln3 10ln 2 30; 10; 3 3 3 x x a b c b   = − − + = − − ⇒ = = − = −    

. Chọn B.

Ví dụ 5: Cho ( ) 4

1

ln 1 .ln3 .ln 2 x I dx a b c x

+ = = + + ∫ , với , , a b c∈, tổng a b c + + bằng

A. 8. B. 4. C. 12. D. 0.

Lời giải

Đặt

( ) ( )

( )

ln 1 2 1

2 1

dx u x du x x dx v v x x

 = + =    + ⇔   =  = +  

, khi đó ( ) ( )

4 4

1 1 2 1 ln 1 dx I x x x = + + −∫

( ) ( )

4 4

1 1

6

2 1 ln 1 2 6.ln3 4.ln 2 2 .ln3 .ln 2 4

2

a

x x x a b c b

c

=   = + + − = − − = + + ⇒ = −  = − 

Vậy tổng 6 4 2 0 a b c + + = − − = . Chọn D.

Ví dụ 6: Cho tích phân

( )

2

2 0

sin

1 cos

x x a I dx c b x

π

= = π − + ∫ với , , a b c∈ và a b là phân số tối giản. Khẳng định

nào sau đây là đúng?

A. 3 a b c + = . B. 2 a b c + = . C. 2 a b c + = . D. 2 3 a b c + = .

Lời giải

Đặt

( )

2 2

2 0 0 sin 1 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos

u x du dx x dx x x I dv dx x x v x x

π π =  =    ⇒ ⇒ = −   = + + =   + +   ∫

2 2

2 0 0

1 1 1 tan 1 1; 2; 1 2 2 2 2 2cos 2

dx x a b c x

π π

= π − = π − = π −⇒ = = = ∫

Do đó 3 a b c + = . Chọn A.

Dạng 2: Tích phân từng phần với hàm ẩn

Ví dụ 1: Cho hàm số ( ) f x thỏa mãn điều kiện ( ) ( )

1

0 1 ' 10 x f x dx + = ∫ và ( ) ( ) 2 1 0 2 f f − = . Tính tích phân

( )

1

0 f x dx ∫

A. 12 I = − . B. 8 I = . C. 12 I = . D. 8 I = −.

Lời giải

Đặt ( ) ( )

1 u x du dx

dv f x dx v f x

= + =     ⇔   ′ = =    

, khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

0 0 0 1 ' 1 x f x dx x f x f x dx + = + − ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) 10 2 1 0 2 1 0 10 2 10 8 f f I I f f ⇔ = − − ⇔ = − − = − = −. Chọn D.

Ví dụ 2: Cho ( ) ( ) ( ) ( )

2

0 1 2 3 2 0 2016 x f x dx f f ′ − = + = ∫ . Tích phân ( )

1

0 2 f x dx ∫ bằng:

A. 4032. B. 1008. C. 0. D. 2016.

Lời giải

Xét tích phân ( ) ( )

2

0 1 2x f x dx ′ − ∫

Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

0 0

1 2 2 1 2 2 u x du dx I x f x f x …