Chuyên đề trắc nghiệm nguyên hàm của hàm lượng giác

CHỦ ĐỀ 6: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC

A. LÝ THUYẾT

1. Một số công thức lượng giác cần nhớ

Hằng đẳng thức lượng giác: 2 2 2 2 2 2 1 1 sin x cos x 1; 1 cot x; 1 tan x sin x cos x + = = + = +

- Công thức cộng:

( ) ( )

( )

sin a b sin a.cosb sin bcosb

cos a b cosa.cosb sin a.cosb

tan a tan b tan a b 1 tan a.tan b

± = ±

± =

± ± =





- Công thức nhân đôi: 2 2 2 2 sin 2a 2sin a cosa

cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a

=   = − = −= − 

- Công thức hạ bậc: 2 2 1 cos2a 1 cos2a sin a ;cos a 2 2 − + = =

- Công thức nhân ba:

3

3 sin3a 3sin a 4sin a

cos3a 4cos a 3cosa

 = −  = − 

- Công thức biến đổi tích thành tổng: ( ) ( ) 1 cosa.cosb cos a b cos a b 2 = + + −    

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 sin.asin b cos a b cos a b ;sin a.cosb sin a b sin a b 2 2 = − − + = + + −        

2. Một số nguyên hàm lượng giác cơ bản

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

1

2

3

4

2 5

2 6

7 2

8 2

9 2

I sin xdx cos x C

1 I sin ax dx cos ax C a

I cos xdx sin x C

1 I cos ax dx sin ax C a 1 cos2x x sin 2x I sin xdx dx C 2 2 4 1 cos2x x sin 2x I cos xdx dx C 2 2 4 dx I tan x C cos x dx 1 I tan ax C cos ax a

dx I sin ax

= = − +

= = − +

= = +

= = +

− = = = − +

+ = = = + +

= = +

= = +

= =

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

( ) ( ) 10 2

11

12

2 13 2

2 14 2

cot x C

dx 1 I cot ax C sin ax a

sin xdx I tan xdx ln cos x C cos x cos xdx I cot xdx ln sin x C sin x 1 I tan xdx 1 dx tan x x C cos x

1 I cot xdx 1 dx cot x x C sin x

− +

= = − +

= = = − +

= = = +

  = = − = − +       = = − = − +    

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

3. Các dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp

Dạng 1: Nguyên hàm m n I sin x.cos xdx = ∫

- TH1: Nếu 2k n m 2k 1 I sin x.cos x.sin xdx = + ⇒= ∫

( ) ( ) k 2 n 1 cos x .cos xd cos x = − − → ∫ Đặt t cos x =

- TH2: Nếu n 2k 1 = + → Đặt t sinx =

- TH3: Nếu m,n đều chẵn ta dùng công thức hạ bậc

Chú ý: Đối với nguyên hàm chỉ chứa sinx và cosx dạng.

( ) ( ) ( ) I f sin x cos xdx f sin x d sin x = = → ∫ ∫ Đặt t sinx =

( ) ( ) ( ) I f cos x sin xdx f cos x d cos x = = − → ∫ ∫ Đặt t cos x =

Dạng 2: Nguyên hàm m n dx I sin x.cos x = ∫

- TH1: Nếu ( ) ( )

k 1 2k 2 n 2 n d cos x sin xdx m 2k 1 I sin x.cos x 1 cos x .cos x + + = + ⇒= = − − ∫ ∫

Khi đó ta đặt: t cos x =

- TH2: Nếu n 2k 1 = + → ta đặt t sinx =

- TH3: Nếu m,n đều chẵn ta biến đổi

2 2

m n m n 1 sin x cos x ... sin x.cos x sin x.cos x + =

Dạng 3: Nguyên hàm lượng giác của hàm tanx và cotx

Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx ta thường dùng các hằng đẳng thức

2 2 2 2 1 1 1 cot x; 1 tan x sin x cos x = + = +

Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx;

2 2 Asin x Bsin x cos Ccos x + + thì ta chia cả tử số và mẫu số cho 2 cos x

Chú ý: Khi ( ) ( ) ( ) 2 tan tan tan cos

f x I dx f x d x x = = → ∫ ∫ đặt t=tanx

Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 cosax.cosbxdx cos a b x cos a b x dx 2 1 sin ax.sin bxdx cos a b x cos a b x dx 2 1 sin ax.cosbxdx sin a b x sin a b x dx 2 1 cosax.sin bxdx sin a b x sin a b x dx 2

= + + −    

= − + − −    

= + + −    

= + − −    

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Dạng 5: Nguyên hàm dx I asin x bcos x c = + + ∫

Ta có:

2 2 2 2

dx I x x x x x x 2asin cos b cos sin c sin cos 2 2 2 2 2 2

=     + − + +         ∫

2 2 2 2

x t tan 2 2

dx dx x x x x x x x msin nsin cos pcos cos m tan n tan p 2 2 2 2 2 2 2

dt I mt nt p

=

=   + + + +    

→= + +

∫ ∫

∫

B. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau: