Chuyên đề trắc nghiệm mở đầu về nguyên hàm

CHỦ ĐỀ 1: MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I. Vi phân của hàm số

Vi phân của hàm số ( ) y f x = được ký hiệu là dy và cho bởi ( ) ( ) dy df x y dx f x dx ′ ′ = = =

II. Nguyên hàm

1. Định nghĩa

Cho hàm số ( ) f x xác định trên K . Hàm số ( ) F x được gọi là nguyên hàm của ( ) f x trên K nếu

( ) ( ) F x f x ′ = với mọi x thuộc K .

2. Định lý

Định lý 1: Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

( ) ( ) G x F x C = + cũng là một nguyên hàm của ( ) f x trên K .

Định lý 2: Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số

( ) F x trên K đều có dạng ( ) F x C + với C là một hằng số.

3. Tính chất của nguyên hàm

Nếu ( ) f x và ( ) g x là hai hàm số liên tục trên K thì

- Tính chất 1: ( ) ( ) f x dx f x C ′ = + ∫

- Tính chất 2: ( ) ( ) . . k f x dx k f x dx = ∫ ∫ , với k là số thực khác 0.

- Tính chất 3: ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx ± = ±     ∫ ∫ ∫

4. Bảng công thức nguyên hàm

Bảng công thức nguyên hàm thường gặp

Các công thức nguyên hàm Công thức nguyên hàm của hàm hợp

1

1

n n x x dx C n

+ = + + ∫ ( ) 1 n ≠−

1

1

n n u u dx C n

+ = + + ∫ ( ) 1 n ≠−

sin cos xdx x C = − + ∫ sinu cosu du C = − + ∫

cos sin xdx x C = + ∫ cos sin udu u C = + ∫

2 1 tan cos dx x C x = + ∫ 2 1 tan cos du u C u = + ∫

2 1 cot sin dx x C x = − + ∫ 2 1 cot sin du u C u = − + ∫

1 ln dx x C x = + ∫ 1 ln du u C u = + ∫

x x e dx e C = + ∫ u u e du e C = + ∫

ln

x x a a dx C a = + ∫ ln

u u a a du C a = + ∫

Đặc biệt: 0dx C = ∫ ; dx x C = + ∫ .

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 3 3 f x x cos x = +

A. ( ) 3 1 sin3x C + + . B.

2 3 sin3 2 3 x x C + + . C.

2 3 sin3 2 3 x x C − + . D. 2 3 sin3 x x C + + .

Lời giải

Ta có: ( )

2 3 sin3 3 3 2 3 x x x cos x C + = + + ∫ . Chọn B.

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2x x f x e = +

A. 2 ln 2 x xe C + + . B. 2 ln 2

x xe C + + . C. 1 1 2x xe C + + + + . D.

1 1 2 1

x xe C x

+ + + + + .

Lời giải

Ta có: ( ) 2 2 2 ln 2

x x x x x x e dx dx e dx e C + = + = + + ∫ ∫ ∫ . Chọn B.

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số ( )

2

3 2 1 . f x x x x = + trên khoảng ( ) 0;+∞

A. 7 3 2 3 7 x x C + + . B. 7 3 7 1 2 3 x x C + + . C. 5 3 2 3 5 x x C + + . D. 5 3 5 1 2 3 x x C + + .

Lời giải

Với ( ) 0; x∈ +∞ ta có: 2 2

3 3 2 2 1 . . dx x x dx x xdx x x

  + = +     ∫ ∫ ∫

2 2 1 5 2 7 3 3 3 2 2 2 . 3 7 x x dx x dx x dx x dx x x C

− − = + = + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ . Chọn A.

Ví dụ 4: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 1 5 2 f x x = −

A. 1 ln 5 2 5 x C − + . B. 1 ln 5 2 2 x C − − + . C. 5ln 5 2 x C − + . D. ln 5 2 x C − + .

Lời giải

Ta có ( ) 5 2 1 1 1 ln 5 2 5 2 5 5 2 5 d x dx x C x x − = = − + − − ∫ ∫ . Chọn A.

Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 2 sin 3 1 f x x x = + +

A. ( ) 3 3 1 3 3 cos x x C + + + . B. ( ) 3 3 1 3 3 cos x x C + − + .

C. ( ) 2 3 3 3 1 x cos x C + + + . D. ( ) 3 3 3 1 x cos x C − + + .

Lời giải

Ta có: ( ) ( ) 2 2 sin 3 1 sin 3 1 x x dx x dx x dx   + + = + +   ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 sin 3 1 3 1 3 3 3 3 cos x x x x d x C + = + + + = − + ∫ . Chọn B.

Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm của hàm số ( )

2 1 x f x e x

− = +

A. 2 1 2 2 x x C e − + . B. 2 1 2 2 x x C e + + . C. 2 1 2 2 x x C e + + . D. 2 1 2 2 x x C e − + .

Lời giải

Ta có: ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2

x x dx dx f x e dx e d x x x

− − = + = − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2

2 1 2 2 2 2

x

x e x C x C e

− = − + = − + . Chọn D.

Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 2019 2 1 f x x = +

A. ( )

2020 2 1 2020 x C + + . B. ( )

2020 2 1 4040 x C + + . C. ( )

2020 2 1 1010 x C + + . D. ( ) 2018 4038 2 1 x C + + .

Lời giải

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2020 2020 2019 2019 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 . 2 2 2020 4040 x x f x x dx x d x C C + + = + = + + = + = + ∫ ∫ ∫ . Chọn B.

Ví dụ 8: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Nguyên hàm của hàm số ( ) 3 f x x x = + là:

A. 4 2 x x C + + . B. 2 3 1 x C + + . C. 3x x C + + . D. 4 2 1 1 4 2 x x C + + .

Lời giải

Ta …