Ứng dụng tích phân giải bài toán liên quan đến so sánh giá trị hàm số

Câu 1. Cho hàm số  f x liên tục trên  . Đồ thị của hàm số  ' y f x  được cho như hình vẽ bên.

Diện tích các hình phẳng   K ,   H lần lượt là 5 8 , 12 3 . Biết   19 1 12 f   , tính  2 f .

A.  11 2 6 f  B.  2 2 3 f  C.  2 3 f  D.  2 0 f 

Lời giải Chọn B



0

1 K S f x dx

      5 0 1 12 f f      0 f  5 19 2 12 12   .



2

0 H S f x dx     8 2 0 3 f f     2 f   8 2 2 3 3    .

 

0 2

1 0 S f x dx f x dx

            5 8 0 1 2 0 12 13 f f f f       

Câu 2. Cho hàm số  y f x  liên tục trên . Đồ thị hàm số  ' y f x  như hình vẽ dưới.

O 1 3 x

2

4

2 

3 

y

CHUYÊN ĐỀ

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SO SÁNH GIÁ TRỊ HÀM SỐ

Đặt   

2 2 1 g x f x x    . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A.

    3;3 1 Min g x g   .

B.

    3;3 1 Max g x g   .

C.

    3;3 3 Max g x g   .

D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của  g x trên   3;3  .

Lời giải

Chọn B. Ta có:     ' 2 ' 2 1 g x f x x    ;    ' 0 ' 1 1 g x f x x     .

Vẽ đồ thị đường thẳng 1 y x   trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số  y f x   .

Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng 1 y x   cắt đồ thị hàm số  ' y f x  tại ba điểm phân biệt

có hoành độ lần lượt là 3;1;3  . Do đó 

3

1 1

3

x

x x

       

.

Bảng biến thiên

Vậy     3;3 1 Max g x g   .

Câu 3. Cho hàm số  y f x  liên tục trên  và có đồ thị hàm số  y f x   như hình vẽ. Đặt

  2 5 S f f   , khi đó khẳng định nào là đúng?

A. 6 S  . B. 5 S  . C. 5 S  . D. 6 S  .

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị ta có   

4

1 2

2 4 4 S f x dx f f        ,

  

5

2 4

5 4 1 S f x dx f f       .

  1 2 1 2 2 5 5 f f S S S S       .

Câu 4. Cho hàm số  f x có đồ thị là hình vẽ bên dưới.

Xét hàm số  

2

d

x g x f t t

  trên đoạn   3; 2  . Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị   3 g  ,

  2 g  ,  0 g ,  1 g .

A.   3 g  . B.   2 g  . C.  0 g . D.  1 g .

Lời giải

Chọn D Ta có   g x f x   . Bảng biến thiên:

O 1 x

y

3  2 2  1 

Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận    3;2 max 1 x g x g    .

Vậy giá trị lớn nhất trong các giá trị   3 g  ,   2 g  ,  0 g ,  1 g là  1 g .

Tiếp theo ta sẽ xét các Bài toán phức tạp hơn...

Câu 5. Cho hàm số  y f x  . Đồ thị của hàm số  y f x   như hình vẽ. Đặt

  

2 2 1 g x f x x    .

Mệnh đề nào dưới đây đúng? A.     1 3 5 g g g    . B.     1 5 3 g g g    .

C.     5 1 3 g g g    . D.     3 5 1 g g g    .

Lời giải

Chọn B. Ta có    2 1 g x f x x         ;  0 g x    1 f x x    .

Vẽ đường thẳng 1 y x   trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số  y f x   .

x 3  1 2

y  0 

y  1 g

Dựa vào đồ thị ta có các nghiệm sau:

1

3 5

x

x x

     

.

Ta có bảng biến thiên

Ngoài ra dựa vào đồ thị ta có     

3 5

1 3 1 d 1 d f x x x x f x x

                 

 

3 5

1 3

1 1 d d 2 2 g x x g x x

         3 5

1 3 g x g x   

     3 1 3 5 g g g g         5 1 g g    .

Vậy     3 5 1 g g g    .

+ Nhận xét: ta cũng thấy rằng việc nhận định vùng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số  y f x   và đường thẳng 1 y x   và các đường thẳng 1 x ;

3; 5 x x   có vẽ hơi chủ quan. Nhưng đa số ý tưởng để giải các bài toán như trên là so

sánh các miền diện tích và bảng biến thiên của các hàm  g x .

Câu 6. (TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn

0 a b c d     và hàm số  y f x  . Biết hàm số  y f x   có đồ thị như hình vẽ. Gọi

M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  y f x  trên   0;d . Khẳng

định nào sau đây là khẳng định đúng?

A.   0 M m f f c    . B.   M m f d f c    .

C.   M m f b f a    . D.   0 M m f f a   …