Tính giá trị của tích phân khi biết một hay nhiều tích phân với điều kiện cho trước

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ]. a b Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [ ; ]. a b Hiệu số ( ) ( ) F b F a  được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [ ; ] a b của hàm số

( ), f x kí hiệu là ( )d .

b

a

f x x 

Ta dùng kí hiệu ( ) ( ) ( ) b a F x F b F a   để chỉ hiệu số ( ) ( ) F b F a  .

Vậy ( )d ( ) ( ) ( )

b b a a

f x x F x F b F a     .

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ( )d

b

a

f x x  hay ( )d .

b

a

f t t  Tích phân đó

chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [ ; ] a b thì tích phân

( )d

b

a

f x x  là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  , trục Ox và hai đường

thẳng , . x a x b   Vậy ( )d .

b

a S f x x 

2. Tính chất của tích phân

1. ( )d 0

a

a f x x  

2. ( )d ( )d

b a

a b f x x f x x   

3. ( )d ( )d ( )d

b c c

a b a f x x f x x f x x      ( a b c   )

4. . ( )d . ( )d ( )

b b

a a k f x x k f x x k     

5. [ ( ) ( )]d ( )d ( )d

b b b

a a a f x g x x f x x g x x       .

 Lưu ý:

1)  f x là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn   ;a a  , 0 a  thì

0 ( )d 2 ( )d

a a

a

f x x f x x

   

2)  f x là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn   ;a a  , 0 a  thì ( )d 0

a

a f x x



 

CHUYÊN ĐỀ

BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA TÍCH PHÂN KHI

BIẾT MỘT HAY NHIỀU TÍCH PHÂN

VỚI ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

3)  f x là hàm số liên tục, tuần hoàn với chu kì T thì

( )d

a T

a

f x x

  0

( )d

T

f x x 

2

2

( )d ,

T

T

f x x a R

   

B. BÀI TẬP

Câu 1. Cho hàm số  f x có đạo hàm liên tục trên 0; 2

      

thỏa mãn  0 0 f 

và  

2 2 2

0 0 d sin d 4 f x x xf x x

 

          . Tính tích phân 

2

0

d f x x

  .

Lời giải Bằng công thức tích phân từng phần ta có

  

2 2 2 0 0 0 sin d cos cos d xf x x xf x xf x x

            . Suy ra 

2

0 cos d 4 x f x x



    .

Hơn nữa ta tính được

2 2 2 2

0 0 0

1 cos 2 2 sin 2 cos d d 2 4 4 x x x x x x

  

              .

Do đó

  

2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 d 2. cos d cos d 0 cos d 0 f x x xf x x x x f x x x

   

                     .

Suy ra  cos   f x x , do đó  sin   f x x C . Vì  0 0 f  nên 0  C .

Ta được 

2 2

0 0 d sin d 1 f x x x x

 

    .

Câu 2. Cho hàm số  f x có đạo hàm liên tục trên   0;1 thỏa mãn,  1 0 f  ,

   

1 1 2 2

0 0

1 d 1 d 4

x e f x x x e f x x            . Tính tích phân 

1

0

d f x x  .

Lời giải Bằng công thức tích phân từng phần ta có

    

1 1

0 0 1 d d x x x e f x x f x xe        

1 1

0 0 d x x xe f x xe f x x     1

0 d x xe f x x   .

Suy ra 

2 1

0

1 d 4

x e xe f x x     .

Hơn nữa ta tính được  

1 1 2 2 2

0 0 d d x x xe x x e x   

2 1 4 e   .

Do đó    

1 1 1 2 2

0 0 0 d 2 d d 0 x x f x x xe f x x xe x            



1 2

0

d 0 x f x xe x          . Suy ra    x f x xe , do đó   1    x f x x e C .