Chuyên đề tích phân hàm ẩn - Hoàng Phi Hùng

Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng

Trang 1

TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN 1

A. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 1. TÍCH PHÂN CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC

Ví dụ 1. Cho hàm số ( )

2

2

1 0

4 3 0 x x x khi x y f x e khi x

 + + ≤  = = − ≥ 

. Biết ( )

1 2

1

b f x dx ae c −

= − ∫ với * , , a b c N ∈ . Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức T a b c = + + . A. 23 . B. 27 . C. 33 . D. 42 . Lời giải

Ta có, ( ) ( ) ( ) ( )

0 1 0 1 2 2 2 2

1 0 1 0

5 25 1 4 3 2 5 2 6 6

x f x dx f x dx x x dx e dx e e

− − + = + + + − = + −= − ∫ ∫ ∫ ∫ .

2 25 6 33 T ⇒ = + + =

Ví dụ 2. [Đề tham khảo – 2018] Cho hàm số ( ) f x xác định trên 1 \ 2

       ℝ thỏa mãn 2 ( ) 2 1 f x x ′ = − , (0) 1 f = và (1) 2 f = . Giá trị của biểu thức ( 1) (3) f f − + bằng A. 4 ln 5 + . B. 2 ln15 + . C. 3 ln15 + . D. ln15. Lời giải

Cách 1: Trên khoảng 1 ; 2

   +∞    : 1 2 ( ) ln(2 1) . 2 1 f x dx x C x = = − + − ∫

Lại có 1 (1) 2 2. f C = ⇒ =

• Trên khoảng 1 ; 2

  −∞     : 2 2 ( ) ln(1 2 ) . 2 1 f x dx x C x = = − + − ∫

Lại có 2 (0) 1 1. f C = ⇒ =

Vậy

1 ln(2 1) 2 2 ( ) 1 ln(1 2 ) 1 2

x khi x f x x khi x

 − + >  =  − + < 

.

Suy ra ( 1) (3) 3 ln15. f f − + = + Cách 2:

Ta có:

0 0 0 1

1 1

3 3 3 1

1 1

2 1 (0) ( 1) '( ) ln 2 1| ln (1) 2 1 3

2 (3) (1) '( ) ln 2 1| ln5 (2) 2 1

dx f f f x dx x x

−

− −

 − − = = = − =  −  − = = = − =  − 

∫ ∫

∫ ∫

Lấy (2)-(1), ta được (3) (1) (0) ( 1) ln15 ( 1) (3) 3 ln15 f f f f f f − − + − = ⇒ − + = + . 2. TÍCH PHÂN HÀM ẨN

DẠNG 1. Điều kiện hàm ẩn có dạng: 1. ( ) ( ) ( ) ( ) . f x g x h f x ′ =

2. ( ) ( ) ( ) ( ) . f x h f x g x ′ =

Phương pháp giải:

1. ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ... f x f x df x g x dx g x dx g x dx h f x h f x h f x

′ ′ = ⇔ = ⇔ = ∫ ∫ ∫ ∫

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ... f x h f x dx g x dx h f x df x g x dx ′ = ⇔ = ∫ ∫ ∫ ∫

Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng

Trang 2

Chú ý:

• 1 và 2 bản chất là một ( cô lập các cụm ( ) ( ) , f x f x ′ sang một vế).

• Ngoài việc nguyên hàm cả hai vế, ta có thể tích phân hai về (tùy cách hỏi)

• ( ) f x ′ phải để trên tử

Ví dụ 1. Giả sử hàm số ( ) y f x = liên tục, nhận giá trị dương trên ( ) 0;+∞ và thỏa mãn ( ) 1 1 f = ,

( ) ( ) 3 1 f x f x x = ′ + , với mọi 0 x > . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ( ) 4 5 5 f < < . B. ( ) 2 5 3 f < < . C. ( ) 3 5 4 f < < . D. ( ) 1 5 2 f < < .

Lời giải Cách 1: Với điều kiện bài toán ta có

( ) ( ) 3 1 f x f x x = ′ + ( ) ( )

( ) ( ) 1 1 d d 3 1 3 1

f x f x x x f x f x x x

′ ′ ⇔ = ⇔ = + + ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 d 1 3 1 d 3 1 3

f x x x f x

− ⇔ = + + ∫ ∫ ′ ( ) 2 ln 3 1 3 f x x C ⇔ = + + ( )

2 3 1 3 e

x C f x

+ + ⇔ = .

Khi đó ( )

4 3 4 1 1 e 1 3

C f C + = ⇔ = ⇔ =− ( )

2 4 3 1 3 3 e x f x

+ − ⇒ = ( ) ( )

4 3 5 e 3,79 3; 4 f ⇒ = ≈ ∈ .

Vậy ( ) 3 5 4 f < < .

Cách 2: Với điều kiện bài toán ta có

( ) ( ) 3 1 f x f x x = + ′ ( ) ( )

1 3 1

f x f x x

′ ⇔ =

+

( ) ( )

5 5

1 1

1 d d 3 1

f x x x f x x ⇔ =

+ ∫ ∫ ′

( ) ( ) ( )

5

1

d 4 3

f x

f x ⇔ = ∫ ( )

5

1

4 ln 3 f x ⇔ = ( )

( )

5 4 ln 1 3

f

f ⇔ = ( ) ( ) ( )

4 3 5 1 .e 3,79 3; 4 f f ⇔ = ≈ ∈ .

Ví dụ 2. Cho ( ) f x xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên [ ] 1;4 thỏa mãn

( ) ( ) [ ] ( ) 2 3 2 , 1;4 , 1 2 x xf x f x x f   ′ + = ∀∈ =   . Giá trị ( ) 4 f bằng:

A. 391

18 B. 361

18 C. 381

18 D. 371

18

Lời giải Biến đổi:

( ) ( )

2 2 x xf x f x   ′ + =   ( ) ( ) ( )

2 1 2 x f x f x   ′ ⇔ + =   ( )

( )

( )

( )

2

1 2 1 2

f x f x x x f x f x

  ′ ′   ⇔ = ⇒ = + + .

( )

( )

4 4

1 1 1 2

f x dx xdx f x

′ ⇒ = + ∫ ∫ ( )

4

1

14 1 2 3 f x ⇔ + =

( ) ( ) 14 391 1 2 4 2 4 3 18 f f ⇔ + − = ⇔ = .

Ví dụ 3. Cho ( ) f x không âm thỏa mãn điều kiện 2 ( ). '( ) 2 ( ) 1 f x f x x f x = + và (0) 0 f = . Tổng giá

trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ( ) y f x = trên [ ] 1;3 là

A. 22 B. 4 11 3 + C. 20 2 + D. 3 11 3 + Lời giải Biến đổi: