Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng - Dương Phước Sang

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Chương 3

Nguyên hàm. Tích phân & Ứng dụng

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Cho hàm sốy = f (x) liên tục trên K (khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) chứa đoạn [a;b].

1. Công thức định nghĩa của nguyên hàm, tích phân

✓F(x) là 1 nguyên hàm của f (x) trên K ⇔F′(x) = f (x),∀x ∈K

✓

Z f (x)dx = F(x)+C ⇔F′(x) = f (x),∀x ∈K (với C là một hằng sốthực bất kỳ).

✓

Z b

a f (x)dx = F(x) ¯¯¯ b

a = F(b)−F(a). Từđây ta có F(b) = F(a)+ Z b

a f (x)dx.

2. Tích chất của nguyên hàm

✓Mỗi hàm sốf (x) liên tục trên K có vô sốnguyên hàm trên K. Các nguyên hàm đó chỉ sai khác nhau một hằng sốC, nghĩa là nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của f (x) trên K thì F(x)−G(x) = C,∀x ∈K.

✓

Z [f (x)± g(x)] dx = Z f (x)dx± Z g(x)dx;

✓

Z kf (x)dx = k Z f (x)dx, ∀k ∈R, k ̸= 0.

✓

Z f ′(x)dx = f (x)+C;

✓

µZ f (x)dx ¶′ = f (x);

(giảsửf (x), g(x) là các hàm sốliên tục trên K)

3. Tích chất của tích phân

Cho các hàm sốf (x), g(x) liên tục trên K (khoảng, đoạn, nửa khoảng) chứa a, b, c. Khi đó

✓

Z b

a f ′(x)dx = f (x) ¯¯¯ b

a = f (b)−f (a).

✓

Z b

a f (x)dx = Z b

a f (t)dt = Z b

a f (u)du.

✓

Z b

a [f (x)± g(x)]dx = Z b

a f (x)dx± Z b

a g(x)dx.

✓

Z b

a kf (x)dx = k Z b

a f (x)dx, ∀k ∈R

✓

Z b

a f (x)dx = Z c

a f (x)dx+ Z b

c f (x)dx, ∀a,b, c ∈K.

✓

Z a

a f (x)dx = 0.

✓

Z a

b f (x)dx = − Z b

a f (x)dx.

✓f (x) ⩾0,∀x ∈[a;b] ⇒ Z b

a f (x)dx ⩾0.

✓f (x) ⩽0,∀x ∈[a;b] ⇒ Z b

a f (x)dx ⩽0.

✓

µZ x

a f (t)dt ¶′ = f (x),∀a ∈K.

1

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

4. Bảng nguyên hàm của các hàm sốthông dụng

Lưu ý: nếu Z f (x)dx = F(x)+C thì Z f (ax+ b)dx = 1

a · F(ax+ b)+C (a ̸= 0).

Nguyên hàm Nguyên hàm mởrộng (đổi x thành ax+ b,a ̸= 0)

• Z dx = x+C • Z adx = ax+C

• Z xαdx = xα+1

α+1 +C, α ̸= −1 • Z (ax+ b)αdx = 1

a · (ax+ b)α+1

α+1 +C, α ̸= −1

• Z 1 x2 dx = −1

x +C • Z 1 (ax+ b)2 dx = −1

a · 1 ax+ b +C

• Z 1 px dx = 2 px+C • Z 1 p

ax+ b dx = 2

a · p

ax+ b +C

• Z pxdx = 2

3 x px+C • Z p

ax+ bdx = 2

3a ã(ax+ b) p

ax+ b +C

• Z exdx = ex +C • Z eax+bdx = 1

a ·eax+b +C

• Z axdx = ax

lna +C • Z amx+ndx = 1

m · amx+n

lna +C

• Z 1

xdx = ln|x|+C • Z 1 ax+ bdx = 1

a ·ln ¯¯ax+ b ¯¯+C

• Z sinxdx = −cosx+C • Z sin(ax+ b)dx = −1

a cos(ax+ b)+C

• Z cosxdx = sinx+C • Z cos(ax+ b)dx = 1

a sin(ax+ b)+C

• Z 1 cos2 xdx = tanx+C • Z 1 cos2(ax+ b)dx = 1

a ·tan(ax+ b)+C

• Z 1

sin2 x dx = −cotx+C • Z 1

sin2(ax+ b) dx = −1

a ·cot(ax+ b)+C

Một sốcông thức bổsung đểlàm bài trắc nghiệm

• Z 1 x2 −a2 dx = 1

2a ln ¯¯¯ x−a

x+ a

¯¯¯+C • Z 1 (ax+ b)(cx+ d) dx = 1 ad −cb ln ¯¯¯¯ ax+ b cx+ d

¯¯¯¯+C

• Z tan2 xdx = tanx−x+C • Z cot2 xdx = −cotx−x+C

• Z tanxdx = −ln|cosx|+C • Z cotxdx = ln|sinx|+C

• Z 1 sinx dx = ln ¯¯¯tan x

2

¯¯¯+C • Z 1 cosx dx = ln ¯¯¯tan ³ x

2 + π

4

´¯¯¯+C

• Z 1 xn dx = − 1 n−1 · 1 xn−1 +C • Z

npxdx = n n+1 · x npx+C

• Z 1 p

a2 −x2 dx = arcsin x

|a| +C • Z 1 x2 + a2 dx = 1

a arctan x

a +C

• Z dx p

x2 + a = ln ¯¯¯x+ p

x2 + a ¯¯¯+C • Z p

x2 + adx = x

2

p

x2 + a+ a

2 ln ¯¯¯x+ p

x2 + a ¯¯¯+C

Dương Phước Sang 2 Ô 0942.080383