Tính nhanh nguyên hàm - tích phân từng phần sử dụng sơ đồ đường chéo - Ngô Quang Chiến

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ngô Quang Chiến

Trang 1/7 GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

SỬ DỤNG SƠ ĐỒ ĐƯỜNG CHÉO I. NHẮC LẠI KIẾN THỨC . 1. Công thức : udv vu vdu    2. Áp dụng với các dạng nguyên hàm : ( ). ax b p x e dx   ; ( ).sin( ) p x ax b dx   ;

( ).cos( ) p x ax b dx   ; ( ).ln ( ) n p x ax b dx   ;…

3. Cách đặt :

 Ưu tiên đặt “u”theo : logarit   ln _ đa thức ( ( )) p x _ lượng giác

  sin ,cos x x _ mũ  xe . Nhất “log”, nhì “đa”, tam “lượng”, tứ “mũ”

 Phần còn lại là “dv” II. PHƯƠNG PHÁP . 1. Chia thành 2 cột

 Cột 1 (cột trái : cột u) luôn lấy đạo hàm tới 0  Cột 2 (cột phải : cột dv) luôn lấy nguyên hàm cho tới khi tương ứng

với cột 1 2. Nhân chéo kết quả của hai cột với nhau. 3. Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu (+), sau đó đan dấu (-), (+), (-)… III. PHÂN DẠNG VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ . Dạng 1 : ( ). ax b f x e dx  

VD1: Tính nguyên hàm : 2 (2 3). x I x e dx   (đạo hàm )

2 2 3 u x  

dấu (nguyên hàm)

x dv e dx  4x

+ xe

4

- xe

0

+ xe

2 (2 3) 4 . 4 x x x I e x x e e C      

2 (2 4 1) xe x x C    

VD2: Tính nguyên hàm :

2 3 ( 2 ). x I x x e dx  

Ta biến đổi đưa I về dạng thuần tuý :

2 2 2 2 2 1 ( 2). . ( 2). ( ) 2

x x I x e xdx x e d x     

2 u x  1 ( 2). . 2

u I u e du   

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ngô Quang Chiến

Trang 2/7 GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN

(đạo hàm )

2 u

dấu (nguyên hàm)

ue

1

+ ue

0

- ue

2 2 ( 2) 1

.( 1) ( 1)

u u

u x I e u e C

e u C e x C

    

     

VD3: Tính nguyên hàm 3 2 1 . x I x e dx  

Ta biến đổi 3 2 1 1 (2 ) (2 ) 16

x I x e d x    2x u  3 1 3 1 . . 16 16

u u e I u e du u e du     

(đạo hàm )

3 u

dấu (nguyên hàm)

ue

2 3u

+ ue

6u

- ue

6

+ ue

0

- ue

3 2 . 3 . 6 . 6 16

u u u u e I u e u e u e e C          

1

3 2 ( 3 6 6) 16

ue u u u C

     

2 1

3 2 (8 12 12 6) 16

x e x x x C

     

Dạng 2: ( ).sin( ) ; ( ).cos( ) f x ax b dx f x ax b dx    

VD1: Tính nguyên hàm (2 1).cos I x xdx   (đạo hàm )

2 1 x

dấu (nguyên hàm)

cosx

2

+ sinx

0

- cosx 

(2 1)sin 2( cos ) I x x x C       (2 1)sin cos x x x C    

VD2: Tính nguyên hàm 2 ( 2 ).sin I x x xdx   (đạo hàm )

2 2 x x 

dấu (nguyên hàm)

sinx 2 2 x

+ cosx 

2

- sinx 

0

+ cosx

2 ( cos )( 2 ) (2 2)( sin ) 2cos I x x x x x x C       

2 cos ( 2 2) (2 2)sin x x x x x C       

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ngô Quang Chiến

Trang 3/7 GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN

VD3: Tính nguyên hàm 7 2 ( 2 ).cos( ) I x x x dx  

Ta biến đổi 6 2 2 1 ( 2).cos( ) ( ) 2 I x x d x    2 u x  3 1 ( 2).cos 2 I u udu   

(đạo hàm )

3 2 u 

dấu (nguyên hàm)

cosu

2 3u

+ sinu

6u

- cosu 

6

+ sinu 

0

- cosu

3 2 sin ( 2) 3 ( cos ) 6 ( sin ) 6cos I u u u u u u u C         

3 2 sin ( 6 2) cos (3 6) u u u u u C      

2 6 2

2 4 sin( ) 6 2

cos( ) 3 6

x x x

x x C

             

Dạng 3: ( ).ln ( ) n f x ax b dx   Chú ý : Dạng ( ).ln ( ) n f x ax b dx   thì ưu tiên đặt ln ( ) n u ax b   vì vậy khi đạo hàm “u” sẽ

không bằng 0 được, do vậy cần phải điều chỉnh hệ số rút gọn (nhân ngang đơn giản tử mẫu) rồi sau đó mới làm tiếp . VD1:Tính nguyên hàm ln I x xdx  (đạo hàm )

lnx

dấu (nguyên hàm)

x 1 x

(đơn giản)

1 2

+ 2

2 x

(đơn giản)

x 0

- 2

2 x

Đơn giản bằng cách nhân kết

quả ở 2 cột ta được 2

x

tách ra 2 cột

(đạo hàm ) (nguyên hàm) 1 2 x

( Cách hiểu : do 1

x từ cột đạo hàm đã “nhảy” sang cột nguyên hàm để triệu tiêu với x

nên 1

2 phải “nhảy” ngược lại sang cột đạo hàm để bù )

2 2 2 1 1 .ln . ln 2 2 2 2 2 x x x I x C x C             