Một số vấn đề chọn lọc nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Vũ Ngọc Huyền

NGỌC HUYỀN LB (facebook.com/huyenvu2405)

Đây là 1 tài liệu nhỏ chị viết gấp gáp để dành tặng

cho các em nhân ngày Valentine 2017. Tuy CHƯA

ĐẦY ĐỦ, nhưng chị tin nó cũng giúp ích cho em

phần nào khó khăn trong quá trình ôn luyện!

NGỌC HUYỀN LB Tác giả “Bộ đề tinh túy Toán” & “Chắt lọc tinh túy toán”

Một số vấn đề chọn lọc

NGUYÊN HÀM

TÍCH PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG

Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi đầu trước giông tố!

Đã nói là làm – Đã làm là không hời hợt – Đã làm là hết mình – Đã làm là không hối hận!

facebook.com/huyenvu2405

Một số vấn đề chọn lọc Nguyên hàm – Tích phân và Ứng dụng

Đừng bao giờ bỏ cuộc Em nhé!

Chị tin EM sẽ làm được!

__Ngọc Huyền LB__

Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng The best or nothing

The best or nothing | 1

Chủ đề: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng

I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản.

Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng. Định nghĩa

Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số f

trên K nếu   ' F x f x  với mọi x thuộc K.

Định lý 1

1. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì với mỗi hằng số C, hàm

  G x F x C   cũng là một nguyên hàm của hàm f trên K.

2. Đảo lại nếu F và G là hai nguyên hàm của hàm số f trên K thì tồn tại hằng số C sao cho   . F x G x C  

Kí hiệu:   f x dx F x C    .

Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.” Tính chất của nguyên hàm Định lý 2 sau đây cho ta một số tính chất cơ bản của nguyên hàm Định lý 2

1. Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K thì

    f x g x dx f x dx g x dx          

  af x dx a f x dx    với mọi số thực a khác 0.

2.     d f x dx f x dx  

Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm. Việc tìm nguyên hàm của một hàm số thường được đưa về tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản hơn. Dưới đây ta có bảng một số nguyên hàm :

dx x C        1 ax b dx ax b C a      , 0 a 

     

1

, 1 1

x x a dx C a

             

1 1 , 1 1 ax b ax b dx C a

              

1 ln dx x a C x a      1.ln dx ax b C ax b a     

x x e dx e C    1 ax b ax b e dx e C a

    

  1 , 0, 1 ln

x x a dx a C a a a        1 , 0, 1 .ln

px q px q a dx a C a a p a

      

sin cos xdx x C      cos sin , 0 ax axdx C a a     

cos sin xdx x C      sin cos , 0 ax axdx C a a    

2 1 tan cos

dx x C x

   2 1 cot sin

dx x C x

  

STUDY TIP: Từ định nghĩa nguyên hàm ta có được

    f x dx ' f x  

Quà tặng Valentine Ngọc Huyền LB

Ngọc Huyền LB | 2

II. Hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm.

a, Phương pháp đổi biến số. Định lí 3

Cho hàm số  u u x  có đạo hàm liên tục trên K và hàm số  y f u  liên tục sao

cho hàm hợp  f u x     xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì

   ' f u x u x dx F u x C           

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm  

10 1 x dx   .

Lời giải

Theo định lý trên thì ta cần viết về dạng  f u du  .

Mà   ' 1 ' 1 u x    , do vậy

      10 10 1 1 . 1 ' x dx x x dx            

11 10 1 1 1 11

x x d x C        .

Từ ví dụ trên ta có các bước gợi ý để xử lý bài toán tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến

1. Đặt  u g x  .

2. Biến đổi x và dx về u và du.

3. Giải bài toán dưới dạng nguyên hàm hàm hợp  f u du  , sau đó thay biến x

vào nguyên hàm tìm được và kiểm tra lại kết quả.

Ta đến với ví dụ 2

Ví dụ 2: Tìm  

7 2 1 x x dx   .

Ở bài toán này, ta thấy số mũ 7 khá cao mà lại có biểu thức trong ngoặc phức

tạp hơn là 2 x . Do vậy ta sẽ đặt  

7 1 x  để đổi biến, dưới đây là lời giải áp dụng

gợi ý các bước trên.

Lời giải

Đặt   1 1 ' u x du x dx du dx       

ta có  

7 2 1 x x dx         2 7 7 8 9 1 . 1 2 u u du u u u du        

8 9 10 2 8 9 10 u u u C           8 9 10 1 2 1 1

. 8 9 10

x x x

C       

b, …