Các phương pháp xác định nguyên hàm - Lê Bá Bảo

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 1 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

I – TỔNG QUAN LÝ THUYẾT:

1. Nguyên hàm

a. Định nghĩa: Cho hàm số  f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm

số  F x được gọi là nguyên hàm của hàm số  f x trên K nếu   ' F x f x  với mọi x K  .

b. Định lí:

1) Nếu  F x là một nguyên hàm của hàm số  f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

  G x F x C   cũng là một nguyên hàm của  f x trên K .

2) Nếu  F x là một nguyên hàm của hàm số  f x trên K thì mọi nguyên hàm của  f x

trên K đều có dạng  F x C  , với C là một hằng số.

Do đó  , F x C C   là họ tất cả các nguyên hàm của  f x trên K .

Ký hiệu   d f x x F x C    .

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1:     d f x x f x   và   d 'f x x f x C   

Tính chất 2:   d d kf x x k f x x    với k là hằng số khác 0 .

Tính chất 3:     d d d f x g x x f x x g x x          

Chú ý:     

 

d d d d d d . . ; . f x x f x f x g x x f x x g x x x g x g x x            

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số  f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số

sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp

  ; 0 u ax b a   

Nguyên hàm của hàm

số hợp    u u x 

d 0 x C   d 0 u C  

dx x C    du u C   

NGUYÊN HÀM_CÁC PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…] NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115… 2 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

d 1 1 1 x x x C   

    

  1 

    d 1 1 1 . 1 ax b x ax b C a

  

      

  1 

d 1 1 1 u u u C   

    

  1 

d 1 ln x x C x    d 1 1 ln x ax b C ax b a      d 1 ln u u C u   

d x x e x e C    d 1 ax b ax b e x e C a

     d u u e u e C   

d ln

x x a a x C a   

  0, 1 a a  

d 1. ln

ax b ax b A A x C a A

    

  0, 1 a a  

d ln

u u a a u C a   

  0, 1 a a  

d sin cos x x x C        d cos sin ax b ax b x C a

     du u sin cos u C   

d cos sin x x x C        d sin cos ax b ax b x C a

     d cos sin u u u C   

d 2 1 tan cos x x C x     

  d 2 tan 1 cos

ax b x C a ax b

     d 2 1 tan cos u u C u   

d 2 1 cot sin x x C x     

  d 2 cot 1 sin

ax b x C a ax b

     d 2 1 cot sin u u C u   

II – PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1. Phƣơng pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu   f u du F u C    và  u u x  là hàm số có đạo hàm liên tục thì

       d ' f u x u x x F u x C   

Hệ quả: Nếu   0 u ax b a    thì ta có     d 1 f ax b x F ax b C a     

2. Phƣơng pháp nguyên hàm từng phần

Định lí 2: Nếu hai hàm số  u u x  và  v v x  có đạo hàm liên tục trên K thì

    d d ' ' u x v x x u x v x u x v x x    

Vì   ' , ' v x dx dv u x dx dv   nên đẳng thức còn được viết dưới dạng: d d u v uv v u    