Chuyên đề Tích phân - Đặng Thành Nam

Chuyên đề 7: Tích phân và ứng dụng

448 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 7:

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

450 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt

Mobile: 0976266202

Các bài toán tích phân trong đề thi TSĐH được đánh giá là bài toán quan trọng, luôn xuất hiện

dưới dạng tính tích phân trực tiếp hoặc là xác định diện tích, thể tích giới hạn bởi các đường

cong.

Để làm tốt dạng toán này học sinh nên lưu ý nhớ và vận dụng lịnh hoạt công thức các nguyên

hàm cơ bản, cách xác định công thức tính thể tích và diện tích giới hạn bởi các đường cong.

Hai phương pháp cơ bản được sử dụng xuyên suốt cho các bài toán tích phân là đổi biến và tích

phân từng phần( thường là kết hợp cả 2 phương pháp này).

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Khái niệm nguyên hàm của một hàm số:

Hàm số ( ) f x xác định và liên tục trên khoảng D

Hàm số ( ) F x được gọi là một nguyên hàm của ( ) f x nếu '( ) ( ), F x f x x D  

Và nguyên hàm của ( ) f x được xác định theo công thức, thực chất đây chỉ là ký hiệu của nguyên

hàm của một hàm số:

( ) ( ) F x f x dx 

Để tìm nguyên hàm của một hàm số chúng ta dựa vào nguyên hàm của một số hàm cơ bản:

Nguyên hàm của một số hàm cơ bản:

1

, 1 1 x x dx c

   

     

ln dx x c x   

cos sin xdx x c   

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

451 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

sin cos xdx x c   

sin tan ln cos cos

x xdx dx x c x     

cos cot ln sin sin

x xdx dx x c x     

2 2

1 ln 2 dx x a c x a a x a      

2

2 ln dx x x a c x a

     

Khái niệm tích phân của một hàm số:

Tích phân của một hàm số ( ) f x được xác định trên một đoạn   ,a b là giá trị của ( ) ( ) F b F a  và

được ký hiệu là ( ) ( ) ( )

b

a

f x dx F b F a   

MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN

Dưới đây sẽ trình bày một số bài toán cơ bản nhất của tích phân, cách thức tiến hành là đưa biểu

thức dưới dấu tích phân về dạng ( ) f u du  .

Bài 1. Tính tích phân   

1

100

0

2 1 1 I x x dx    

Lời giải:

Ta có            

1 1 1 1 100 100 101 100

0 0 0 0 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 I x x dx x x dx x dx x dx               

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

452 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

           

1 1 101 100 102 100

0 0

1 1 1 1 152 2 1 1 1 1 1 1 . 0 0 51 101 5151 x d x x d x x x             

Bài 2. Tính tích phân

0

1 2

2 1 I x x dx

   

Lời giải:

Ta có      

0 0 0 0 3 1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 x I x x dx x dx x dx x dx

   

             

           

0 0 3 1 5 3 2 2 2 2

1 1 2 2

0 0 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 . 1 1 4 4 10 6 15 2 2

x d x x d x x x

 

               

Bài 3. Tính tích phân

1 4

0

5 . 1 x I dx x

   

Lời giải:

Ta có   

1 1 1 4 4

2

0 0 0

5 1 6 6 1 1 1 1 1 x x I dx dx x x dx x x x                    

 

1 1 2 3 2 4 3

0 0

1 1 6 1 1 7 1 6ln 1 . 0 0 1 4 3 2 12 x x x x dx x x x x x

                     

Bài 4. Tính tích phân . 1 1 dx I

x x 

  

Lời giải:

Ta có       3 3 1 1 1 1 1 1 1 . 2 3 3 1 1 dx I x x dx x x c x x             

Bài 5. Tính tích phân

4

2 1

1 4

x

x x e I dx x xe

   