Các phương pháp tìm Nguyên hàm - Nguyễn Đình Sỹ

Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 1

CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

* Để tìm họ nguyên hàm của một hàm số y=f(x) , cũng có nghĩa là ta đi tính một tích phân bất định : ( ) I f x dx  . Ta có ba phương pháp : - Phương pháp phân tích . - Phương pháp đổi biến số . - Phương pháp tích phân từng phần Do đó điều quan trọng là f(x) có dạng như thế nào để ta ngiên cứu có thể phân tích chúng sao cho có thể sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tìm được nguyên hàm của chúng . Hoặc sử dụng hai phương pháp còn lại - Sau đây là một số gợi ý giúp các em có thể nhận biết dạng của f(x) mà có phương pháp phân tích cụ thể , từ đó tìm được nguyên hàm của chúng .

PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH

I.TRƢỜNG HỢP : f(x) LÀ MỘT HÀM ĐA THỨC

1 1 0 ( ) ..... n n n n f x a x a x a        A.CÁCH TÌM

1. Sử dụng công thức tìm nguyên hàm của hàm số : f(x)= 1 1 ( ) . 1 x F x x C   

    

2. Do đó nguyên hàm của f(x) là : 

1 1

0 ..... 1

n n n n a a F x x x a x C n n

        

B. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA . Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm các hàm số sau

1. 3 4 3 2 1 4 2 4 x x x x dx            2. 3 2

3 4 5 3 1 7 2 m mx x x m dx x x            

3.   3 2 log 2sin 2 3cos4 x x me a x x x dx      4. 2 3 t anx+3x-2 x dx x         

GIẢI

1.

5 3 4 3 2 5 4 2 3 1 1 4 3 1 4 2 . 2 4 20 3 5 2 x x x x dx x x x x x C                 

2.  

3 3 2 4 3 2 3 2 2 4 5 2 4 5 3 1 7 1 7 2 4 3 2. 2. m m m mx x x m dx x x x mx C x x x x                    

3.     3

2 1 3 2 log 2sin2 3cos4 ln os2x+ sin4 ln ln3 4

x x x x a me a x x x dx me x x x c x C a          

4. 2 2 3 3 3 t anx+3x-2 4 ln osx 2 ln3 2

x x dx x c x x C x               

Bài số 4 : CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 1 năm 2012 Trang 2

II. TRƢỜNG HỢP f(x)LÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ : fx)= ( ) ( ) P x Q x

* Trường hợp : Bậc của P(x) cao hơn hoặc bằng bậc của Q(x) , thì bằng phép chia đa thức ta lấy P(x) chia cho Q(x) được một đa thức A(x) và một số dư R(x) mà bậc của R(x) thấp hơn bậc của Q(x). Như vậy tích phân của A(x) ta tính được ngay ( như đã trình bày ở trên). Do vậy ta chỉ ngiên cứu cách tìm nguyên hàm của f(x) trong trường hợp bậc tử thấp

hơn bậc của mẫu , nghĩa là f(x) có dạng : ( ) ( ) ( ) R x f x Q x  .

Trước hết ta ngiên cứu cách tìm nguyên hàm của f(x) có một số dạng đặc biệt .

1. Hàm số f(x) có dạng :   2

1 0 ax I dx a bx c     

* Ta phân tích :

2 2

2 ax 2 4 b bx c a x a a

                   

, mà ta đã biết ở lớp 10 .

* Xét ba trường hợp của . Ta sẽ có ba dạng của f(x) và ta cũng có ba cách tìm nguyên hàm gợi ý sau :

- Nếu :

 

2 2

2

2 2

; 2 2 0 0ax 2 4

b u x k b a a bx c a x a a a u k

                                

- Nếu :

2

2 2 0 2 4 2 b b a x au u x a a a

                           

- Nếu :   

2

1 2 1 2 2 0 ; 2 4 2 2 b b b a x a x x x x x x a a a a

                                   

Do vậy tích phân trên có thể giải như sau :

- Trường hợp : 0 , thì 2 2 2 1 1 1 . ax I dx du bx c a u k       

* Nếu đặt :

 

    

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 tan 1 tan 1 1 1 1 os . . 1 tan . 1 tan tan 1 tan

u t du dt t dt c t I du t dt a u k a k t u k k t k k t

                   

 

2 2 1 .

t dt C a k ak     . ( với : tan arctanu u t t   ).

- Trường hợp : =0 thì : 2 2 1 1 1 1 ax

2

I dx du C b bx c u u x a

                .

Hay : 2 2

1 1 1 1 ax

2 2

I dx dx C b bx c a b a x x a a

                     