Giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học giải tích - Nguyễn Hữu Tình

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP

CHUYÊN ĐỀ

GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC

BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Giáo viên: Nguyễn Hữu Tình Tổ: Toán

Năm học: 2017 - 2018

Trang 1

MỞ ĐẦU

Trong chương trình Toán THPT, phần Đại số mà cụ thể là phần Số học, ở chương

trình lớp 12, học sinh được hoàn thiện hiểu biết của mình về các tập hợp số thông qua

việc cung cấp một tập hợp số, gọi là Số phức. Trong chương này, học sinh đã bước đầu

làm quen với các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lũy thừa; lấy mô đun, …các

số phức. Bằng cách đặt tương ứng mỗi số phức 2 ,( ; , 1) z x yi x y i      với mỗi

điểm ( ; ) M x y trên mặt phẳng tọa độ Oxy , ta thấy giữa Đại số và Hình học có mối liên

hệ với nhau khá “gần gũi”. Hơn nữa, nhiều bài toán Đại số bên Số phức, khi chuyển

sang Hình học, từ những con số khá trừu tượng, bài toán đã được minh họa một cách rất

trực quan, sinh động và cũng giải được bằng Hình học với phương pháp rất đẹp. Đặc

biệt, trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng và THPT Quốc gia những năm gần đây, việc sử

dụng phương pháp Hình học để giải quyết các bài toán về Số phức là một trong những

phương pháp khá hay và hiệu quả, đặc biệt là các bài toán về Cực trị trong số phức. Hơn

nữa, với những bài toán Hình học theo phương pháp trắc nghiệm, nếu khi biểu diễn

được trên giấy thì qua hình ảnh minh họa, ta có thể lựa chọn đáp án một cách dễ dàng.

Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy, việc chuyển từ bài toán Đại số nói chung và

Số phức nói riêng sang bài toán Hình học ở nhiều học sinh nói chung còn khá nhiều

lúng túng, vì vậy việc giải các bài toán về Số phức gây ra khá nhiều khó khăn cho học

sinh.

Bài toán Cực trị Số phức thông thường thì có khá nhiều cách lựa chọn để giải như

dùng Bất đẳng thức, dùng Khảo sát hàm số, … Qua chuyên đề này, tôi muốn gợi ý cho

học sinh một lối tư duy vận dụng linh hoạt các phương pháp chuyển đổi từ bài toán Đại

số sang Hình học cho học sinh, giúp các em có cái nhìn cụ thể hơn về việc chuyển đổi

đó và vận duy tư duy này cho những bài toán khác. Với mục tiêu đó, trong chuyên đề

này, tôi chỉ tập trung giải quyết bài toán theo hướng Hình học. Không đặt nặng việc so

sánh phương pháp nào nhanh hơn, tối ưu hơn phương pháp nào.

Trang 2

II. NỘI DUNG 1. Một số kiến thức, kí hiệu ban đầu 1.1 Các định nghĩa và kí hiệu

a) Số i: Ta thừa nhận có một số mà bình phương của nó bằng 1.  Kí hiệu: .i Như vậy, 2 1. i  b) Số phức: Cho , , x y biểu thức z x yi   gọi là một (dạng đại số) số phức.

: x Phần thực; : y Phần ảo

c) Với mỗi số phức , z x yi   giá trị biểu thức 2 2 x y  gọi là mô đun của .z Kí

hiệu: z . Như vậy, 2 2. z x y  

d) Với mỗi số phức . z x yi   Số phức ' ( ) z x y i x yi     gọi là số phức liên

hợp của số phức .z Kí hiệu z . Như vậy, z x yi   thì . z x yi  

e) Với mỗi số phức . z x yi   Xác định điểm ( ; ) M x y trên mặt phẳng tọa độ

Oxy . Điểm M gọi là biểu diễn hình học của số phức .z

Để cho tiện, trong tập tài liệu này, tôi kí hiệu ( ; ) ( ) M x y M z  hay đơn giản

( ) M z để chỉ M là điểm biểu diễn cho số phức . z x yi  

1.2 Các phép toán trên tập hợp số phức

Cho hai số phức 2 , ' ' ' .( , , ', ' , 1) z x yi z x y i x y x y i       

+ Phép cộng: ' ( ') ( ') z z x x y y i     

+ Phép trừ: ' ( ') ( ') z z x x y y i     

+ Phép nhân: . ' ( ' ') ( ' ' ) z z xx yy xy x y i    

+ Phép chia: . ' ' '. ' z z z z z z  với ' 0 0 . z i  

1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc. + Với ( ) M z thì . z OM 

+ Với ( ), ' '( ') M M z M M z   thì ' '. z z MM  

+ Với ( ), ( ), A B A A z B B z   trong đó , A B z z là hai số phức khác nhau cho trước

thì tập hợp các điểm ( ) M M z  thỏa mãn hệ thức A B z z z z    là đường trung trực

của đoạn . AB + Với 0 0 0 ( ),R 0 M M z   , tập hợp các điểm ( ) M M z  thỏa mãn hệ thức

0 R z z   là đường tròn tâm 0, M bán kính R.