Khai thác công thức tính khoảng cách từ chân đường vuông góc của hình chóp đến mặt bên

CHUYÊN ĐỀ: KHAI THÁC CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH

TỪ CHÂN ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CỦA HÌNH CHÓP ĐẾN MẶT BÊN

Người viết: Trần Mạnh Tường

THPT Chu Văn An – Thanh Hoá

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM:

Nếu hình chóp . S ABC có    SA ABC thì

        2 2 2

1 1 1

; ; SA d A BC d A SBC

hay      

  

 2 2

. ; ;

;

SAd A BC d A SBC

SA d A BC

Chứng minh:

Trong tam giác ABC , dựng đường cao AK

Trong tam giác SAK , dựng đường cao AH

Khi đó

 

     

              ;

BC SA BC SAK BC AH BC AK

AH SBC d A SBC AH

.

Trong tam giác vuông SAK có

           2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1

; ; AH SA AK SA d A BC d A SBC

Đặc biệt: Nếu hình chóp . S ABC có    SA ABC và  AB AC (A là đỉnh của tam diện

vuông) thì

   

   2 2 2 2

1 1 1 1

; AS AB AC d A SBC

Bình luận:

+) Sử dụng công thức khoảng cách phía trên giúp chúng ta không phải suy nghĩ dựng

hình chiếu của điểm lên mặt phẳng.

+) Khi gặp một bài toán tính khoảng cách mà xuất hiện chân đường vuông góc thì ta sẽ xử

lí để đưa về bài toán tính khoảng cách từ chân đường vuông góc đó tới mặt phẳng cần

tính.

S

A C

B

K

H

II. VÍ DỤ MINH HOẠ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B ,  AB a , SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và 2 SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng   SBC bằng

A. 2 5

5

a B. 5 3

a C. 2 2

3

a D. 5 5

a

Lời giải

Chọn A

Ta có

     

  



    

2 2

2 2 2 2

. ; ;

;

. .2 2 5 5 4

SAd A BC d A SBC

SA d A BC

SAAB a a a

SA AB a a

.

Ví dụ 2: Cho hình chóp . D S ABC có    D SA ABC , đáy D ABC là hình chữ nhật. Biết  D 2a A ,

 SA a . Khoảng cách từ B đến   D SC bằng:

A. 3a

7

B. 3a 2

2

C. 2a 5

5 D. 2a 3

3

Lời giải

Chọn C

Nhận xét: Chân đường vuông góc trong bài toán là

điểm A , nên ta cần sử dụng tỉ lệ về khoảng cách để

chuyển khoảng cách từ B đến   D SC thành khoảng

cách từ A đến   D SC

Ta thấy

         

   



    

2 2

2 2 2 2

. ; ; ;

;

. .2 2 5 5 4

SAd A CD d B SCD d A SCD

SA d A CD

SAAD a a a

SA AD a a

2a

a

B

C A

S

2a

a

C B

D A

S

Ví dụ 3: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a ,

    5 SA SB SC SD a . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng   SCD .

A. 3 2 a . B. 3 a . C. 2 3 a . D. 5 2 a .

Lời giải

Chọn C

Nhận xét:

Chân đường vuông góc trong bài toán là điểm O , nên ta cần sử dụng tỉ lệ về

khoảng cách để chuyển khoảng cách từ B đến   D SC thành khoảng cách từ O đến   D SC

Gọi   O AC BD .

Do    SA SB SC SD

nên các tam giác , SAC SBD cân tại           

SO AC S SO ABCD SO BD

Ta có          ; 2 ; d B SCD d O SCD

Và      

   

 

2 2 2 2

. ; . ;

;

SO d O CD SOOM d O SCD

SO OM SO d O CD

      

2 2

2 2 2 2 2 . 3. 3 3

SA AO OM a a a SA AO OM a a

           ; 2 ; 2 3 d B SCD d O SCD a

2a

a 5

M O

C

A D

B

S

Ví dụ 4: Cho hình chóp . S ABC có ABC đều cạnh a . Cạnh bên  3 SA a và vuông góc với   ABC . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng   SBC bằng

A. 3 2 a . B. 15 5 a . C. 5 5 a . D. a .

Lời giải

Chọn B

Ta có

     

  



 



2 2

2 2

. ; ;

;

3 3. 15 2

15 3 3 4

SAd A BC d A SBC

SA d A BC

a a a

a a

Ví dụ 5: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,    SA ABCD ,  SA a . Gọi G là

trọng tâm tam giác ABD , khi đó khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng   SBC bằng

A. 2 2 a . B. 2 3 a . C. 2 6 a . D. 2

a .

Lời giải

Chọn B

Nhận xét: Chân đường vuông góc trong bài toán là

điểm A , nên ta cần sử dụng tỉ lệ về khoảng cách để

chuyển khoảng cách từ G đến   SBC thành khoảng

cách từ A đến   SBC

Ta có

         

 







  

2 2

2 2

2 ; ; 3

. ; 2 3 ;

2 . 2 . 3 3

d G SBC d A SBC

SAd A BC

SA d A BC

a a a

a a

a

a a

a 3

B

C A

S

a

a

a

G

O

C

A D

B

S